北京师范大学附属实验中学2023届高三下学期5月热身练习（三模）数学试题

1 2023 届高三数学热身练习答案 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B D B B B D D 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分 11 12 13 14 15 120 1 4 3 2 、 1 4 1 12 , 2023 2024 ① ② 三、解答题共 6小题,共 85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16. 解:(Ⅰ)由正弦定理 sin sin a b A B 及 7 6 cosa b B , 得 7sin 6sin cos 3sin2A B B B . 因为 3sin 7 A ,所以 sin 2 1B . 又因为0 πB , 所以 π 4 B . 【5 分】 (Ⅱ)法 1:选条件②: 3sin 2 B . 由7 6 cosa b B 可知 cos 0B ,所以 π0 2 B . 2 所以由 3sin 2 B 可得 π 3 B = . 所以7 6 cos 3a b B b ,即 7 3 ab 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 及 8c , 得 2 2 2 7 1( ) 8 2 8 3 2 a a a , 所以 25 9 72 0a a , 所以 3a ( 24 5 a 舍去), 所以 ABC△ 的面积为 1 1 3sin 3 8 6 3 2 2 2ABC S ac B △ . 法 2:选条件②: 3sin 2 B . 由7 6 cosa b B 可知 cos 0B ,所以 π0 2 B . 所以由 3sin 2 B 可得 π 3 B = . 所以7 6 cos 3a b B b , 所以 3 3sin 14 A , 因为 3 7 a b b ,所以 π 3 A B , 所以 2 13cos 1 sin 14 A A , 所以 8 3sin sin( ) sin cos cos sin 14 C A B A B A B , 由正弦定理可得 sin 3 sin c Aa C , 所以 ABC△ 的面积为 1 1 3sin 3 8 6 3 2 2 2ABC S ac B △ . 【13 分】 3 17.解:依题意,以点 A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 1,0,0B , 2,2,0C , 0,2,0D , 0,0,2P .由E为棱PC的中点,得 1,1,1E . ( Ⅰ ) 证 明 : 向 量 0 , 1 , 1BE , 2,0,0DC , 故 0B E D C . 所 以 , BE DC . 【4 分】 ( Ⅱ ) 解 : 向 量 1 , 2 , 0BD , 1,0, 2PB . 设 , ,n x y z 为平面PBD的法向量,则 0, 0, n BD n PB 即 2 0, 2 0. x y x z 不妨令 1y ,可得 2,1,1n 为平面PBD的一个法向量.于是有 2 3cos , 36 2 n BEn BE n BE . 所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3 3 . 【9 分】 (Ⅲ)解:向量 1,2,0BC , 2, 2,2CP , 2,2,0AC , 1,0,0AB . 由点F 在棱PC上,设CF CP,0 1. 故 1 2 ,2 2 ,2BF BC CF BC CP . 由BF AC,得 0BF AC , 因此,2 1 2 2 2 2 0,解得 3 4 .即 1 1 3, , 2 2 2 BF . z y x P E D C BA 4 设 1 , ,n x y z 为平面FAB的法向量,则 1 1 0, 0, n AB n BF 即 0, 1 1 3 0. 2 2 2 x x y z 不妨令 1z ,可得 1 0, 3,1n 为平面FAB的一个法向量. 取平面 ABP的法向量 2 0,1,0n ,则 1 2 1 2 1 1 3 3 10cos , 1010 1 n nn n n n . 易知,二面角F AB P是锐角,所以其余弦值为 3 10 10 . 【14 分】 18.解:(Ⅰ)十二周“水站诚信度”的平均数为 x = 95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96 =91% 12 100 【3 分】 (Ⅱ)随机变量 X的可能取值为 0,1,2,3 三个周期“水站诚信度”超过91%分别有 3次,2