2023年广东中考题型分类——12大题——二次函数2——中档5

2023年广东中考题型分类 ——大题——二次函数（中档5） 资料编制说明： 1、 资料由个人编制，如有雷同，纯属巧合。 2、 题目主要来自2021-2023年广东（非广州、深圳）地区中考真题、模拟题，合计111套。比较适合北师大版的地区。 3、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 4、 单选、填空题一般按知识点、方法分类，大题一般按难易、篇幅长度分类。 1. （2023年中山J111）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且． （1）求抛物线的解析式；（[endnoteRef:2]） （2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得的面积最大，求出点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标． [2: 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】(1) 由得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入中， 利用待定系数法可求； (2)求出直线BE的解析式，用m表示点P、H的坐标，进而表示线段PH,根据S△BDP=×PH×3，用含m的代数式表示的面积，利用二次函数的性质，求出S关于m的二次函数的顶点横坐标即可得出结论； (3) 过点M作轴，过点E作轴，过A作交于点T，构造出直角三角形，利用三角函数找到与相等的线段，根据“垂线段最短”得的最小值，将二次函数与直线方程联立，解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴ ∵抛物线经过A、B两点， ∴ 解得： ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴直线BE的解析式为： 过P作轴，交AB于点H 设，则 ∴ 当时，即时的面积最大． 【小问3详解】 （3）过点M作轴，过点E作轴，过A作交于点T ∵轴 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为AT． 由得：或 ∴ ∴的最小值为，此时 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的求法，待定系数法，利用函数图象上点的坐标的特征表示相应三角形的面积，二次函数的极值，一元二次方程的解法，利用函数图象上点的坐标的特征表示相应的线段的长度是解题的关键． ] 2. （2023年中山J113）如图，抛物线与x轴交于， 两点，与y轴相交于点C，直线经过点A，C． （1）求抛物线和直线函数解析式；（[endnoteRef:3]） （2）若点D是y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点E，使线段绕点E逆时针旋转得到线段且刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． [3: 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，即可求得二次函数的解析式，即可求得点C的坐标，再把点A、C的坐标分别代入一次函数的解析式，即可求得一次函数的解析式； (2)设点D的坐标为，再根据DC=DA及两点间距离公式，即可求得点D的坐标； (3) 当点E在x轴上方时，可求得对称轴与AC的交点为E的坐标，对称轴与x轴的交点为F，连接BE，可证得，即可求得点E的坐标．当点E在x轴下方时，设点E的坐标为，则A1M=EF=-n，AF=EM=，进而即可求解． 【小问1详解】 解：把点A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，得 解得 故二次函数的解析式为 令x=0，则y=4 故点C的坐标为(0,4) 把A、C的坐标分别代入，得 解得 故一次函数的解析式为 【小问2详解】 解：设点D的坐标为 ， 化简得： 解得，(舍去) 故点D的坐标为 【小问3详解】 解：存在； 当点E在x轴上方时， 抛物线的对称轴所在直线为 把代入，得， 如图：设对称轴与AC的交点为E，对称轴与x轴的交点为F，连接BE 点E的坐标为 存在点E，线段绕点E逆时针旋转得到线段且刚好落在抛物线上，此时点与点B重合 的坐标为， 当点E在x轴下方时，如图，则，A1M=EF，AF=EM， 设点E的坐标为，则A1M=EF=-n，AF=EM=， ∴点A1的坐标为， ∴，解得：n=或， 综上所述：的坐标为或 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，两点间距离公式，坐标与图形，旋转的性质，作出图形是解决本题的关键． ] 3. （2023年中山J114J124）如图，抛物线L1经过坐标原点和点A（﹣2，0），其顶点B的纵坐标为﹣2，点M的坐标为（m，0）（m＞0），将抛物线L1绕点M旋转180°得到抛物线L2，点A对应点为点C，点B对应点为点D． （1）求抛物线L