考点27 复数9种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点27 复数9种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 复数的有关概念 （一）复数的实部与虚部 （二）共轭复数 （三）复数相等 （四）复数分类 考点二 待定系数求复数 考点三 复数的模 （一）求复数的模 （二）由复数模求参数 （三）与复数模相关的轨迹（图形）问题 考点四 复数的四则运算 （一）复数的运算 （二）复数范围内方程根的问题 考点五 复数的几何意义 （一）与复数对应点(向量)有关的运算 （二）判断复数对应点所在的象限 （三）根据复数对应坐标的特点求参数 考点六 复数的综合问题 考点七 复数的新定义问题 考点八 欧拉公式及其应用 考点九 复数与其他知识的交汇 1. 复数的概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 2. 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b； (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (3)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．所以解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． ①复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=;③z∈R⇔z2≥0. ②复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0. 3. 解决复数问题最基本的思想方法 复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 4. 复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 5. 对复数几何意义的再理解 (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔； (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 6. 两个复数的差的模的几何意义 |z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．即设复数在复平面内对应的点分别是，则= 一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下： ① 若，则为圆； ② 若，则为圆环，但不包括边界； ③ 若，则为垂直平分线； ④ 若常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在； ⑤ 若常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB 时，为双曲线的一支. 7. 复数的四则运算 (1)运