专题二十四 圆的相关证明与计算题-【考点大观】2023年全国中考数学真题分类一卷通

　　 专题二十四 圆的相关证明与计算题　专项训练 类型１　圆的基本性质的证明与计算 １．（２０２２·黄冈）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＤ是⊙Ｏ的直径， ＢＣ与过点Ａ的切线ＥＦ平行，ＢＣ，ＡＤ相交于点Ｇ． （１）求证：ＡＢ＝ＡＣ； （２）若ＤＧ＝ＢＣ＝１６，求ＡＢ的长． （第１题图） ２．（２０２２·武汉）如图，以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ经过△ＡＢＣ的顶点 Ｃ， ＡＥ，ＢＥ分别平分∠ＢＡＣ和∠ＡＢＣ，ＡＥ的延长线交⊙Ｏ于点 Ｄ，连 接ＢＤ． （１）判断△ＢＤＥ的形状，并证明你的结论； （２）若ＡＢ＝１０，ＢＥ 槡＝２１０，求ＢＣ的长． （第２题图） ３．（２０２２·哈尔滨）已知 ＣＨ是⊙Ｏ的直径，点 Ａ、点 Ｂ是⊙Ｏ上的 两个点，连接 ＯＡ，ＯＢ，点 Ｄ、点 Ｅ分别是半径 ＯＡ，ＯＢ的中点，连 接ＣＤ，ＣＥ，ＢＨ，且∠ＡＯＣ＝２∠ＣＨＢ． （１）如图１，求证：∠ＯＤＣ＝∠ＯＥＣ； （２）如图２，延长ＣＥ交ＢＨ于点Ｆ，若ＣＤ⊥ＯＡ，求证：ＦＣ＝ＦＨ； （３）如图３，在（２）的条件下，点Ｇ是 ) ＢＨ上一点，连接ＡＧ，ＢＧ，ＨＧ， ＯＦ，若ＡＧ∶ＢＧ＝５∶３，ＨＧ＝２，求ＯＦ的长． （第３题图） 类型２　与切线有关的证明与计算 ４．（２０２２·陕西）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＭ是⊙Ｏ的切线，ＡＣ，ＣＤ 是⊙Ｏ的弦，且 ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为 Ｅ，连接 ＢＤ并延长，交 ＡＭ于 点Ｐ． （１）求证：∠ＣＡＢ＝∠ＡＰＢ； （２）若⊙Ｏ的半径ｒ＝５，ＡＣ＝８，求线段ＰＤ的长． （第４题图） ５．（２０２２·恩施）如图，Ｐ为⊙Ｏ外一点，ＰＡ，ＰＢ为⊙Ｏ的切线，切点 分别为Ａ，Ｂ，直线ＰＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，Ｅ，交ＡＢ于点Ｃ． （１）求证：∠ＡＤＥ＝∠ＰＡＥ； （２）若∠ＡＤＥ＝３０°，求证：ＡＥ＝ＰＥ； （３）若ＰＥ＝４，ＣＤ＝６，求ＣＥ的长． （第５题图） ６．（２０２２·铁岭）如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，过 ＯＡ 上的点Ｐ作ＰＤ⊥ＡＣ，交ＣＢ的延长线于点Ｄ，交ＡＢ于点Ｅ，点Ｆ 为ＤＥ的中点，连接ＢＦ． （１）求证：ＢＦ与⊙Ｏ相切； （２）若ＡＰ＝ＯＰ，ｃｏｓＡ＝４５，ＡＰ＝４，求ＢＦ的长． （第６题图） ·５７· ７．（２０２２·包头）如图，ＡＢ为⊙Ｏ的切线，Ｃ为切点，Ｄ是⊙Ｏ上一 点，过点Ｄ作 ＤＦ⊥ＡＢ，垂足为 Ｆ，ＤＦ交⊙Ｏ于点 Ｅ，连接 ＥＯ并 延长交⊙Ｏ于点Ｇ，连接ＣＧ，ＯＣ，ＯＤ，已知∠ＤＯＥ＝２∠ＣＧＥ． （１）若⊙Ｏ的半径为５，求ＣＧ的长； （２）试探究 ＤＥ与 ＥＦ之间的数量关系，写出并证明你的结论． （请用两种证法解答） （第７题图） ８．（２０２２·新疆）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ是⊙Ｏ的直径， 点Ｄ在⊙Ｏ上，ＡＣ＝ＣＤ，连接 ＡＤ，延长 ＤＢ交过点 Ｃ的切线于 点Ｅ． （１）求证：∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＤ； （２）求证：ＢＥ⊥ＣＥ； （３）若ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，求ＤＢ的长． （第８题图） ９．（２０２２·德阳）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＣＤ是⊙Ｏ的弦，ＡＢ⊥ＣＤ， 垂足是点Ｈ，过点Ｃ作直线分别与ＡＢ，ＡＤ的延长线交于点Ｅ，Ｆ， 且∠ＥＣＤ＝２∠ＢＡＤ． （１）求证：ＣＦ是⊙Ｏ的切线． （２）如果ＡＢ＝１０，ＣＤ＝６， ①求ＡＥ的长； ②求△ＡＥＦ的面积． （第９题图） 类型３　圆与函数 １０．（２０２２·凉山）如图，已知半径为５的⊙Ｍ经过ｘ轴上一点Ｃ，与 ｙ轴交于Ａ，Ｂ两点，连接ＡＭ，ＡＣ，ＡＣ平分∠ＯＡＭ，ＡＯ＋ＣＯ＝６． （１）判断⊙Ｍ与ｘ轴的位置关系，并说明理由； （２）求ＡＢ的长； （３）连接 ＢＭ并延长交⊙Ｍ于点 Ｄ，连接 ＣＤ，求直线 ＣＤ的解 析式． （第１０题图） １１．（２０２２·荆州）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，点 Ｏ是边 ＡＢ上一个动点（不与点 Ａ重合），连接 ＯＤ，将△ＯＡＤ沿 ＯＤ折 叠，得到△ＯＥＤ；再以Ｏ为圆心，ＯＡ的长为半径作半圆，交射线 ＡＢ于Ｇ，连接ＡＥ并延长交射线ＢＣ于Ｆ，连接ＥＧ，设ＯＡ＝ｘ． （１）求证：ＤＥ是半圆Ｏ的切线； （２）当点Ｅ落在ＢＤ上时，求ｘ的值； （３）当点Ｅ落在 ＢＤ下方时，设△ＡＧＥ与△ＡＦＢ面积的比值为 ｙ，确定ｙ与ｘ之间的函数关系式； （４）直接写出：当半圆Ｏ与△ＢＣＤ的边有两个交点时，ｘ的取值 范围． （第１１题图） ·６７· 专题二十四　圆的相关证明与计算题　专项训练 １．（１）证明：∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径，ＥＦ是⊙Ｏ的切线， ∴ＡＤ⊥ＥＦ．∵ＢＣ∥ＥＦ，∴ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ )ＡＢ＝ )ＡＣ，∴ＡＢ＝ＡＣ． （２）解：连接ＯＢ， ∵ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＣ＝１６，∴ＢＧ＝１２ＢＣ＝８． 设⊙Ｏ的半径为ｒ， 则ＯＢ＝ＯＤ＝ｒ，ＯＧ＝ＤＧ－ＯＤ＝１６－ｒ． 在Ｒｔ△ＯＢＧ中，ＯＧ２＋ＢＧ２＝ＯＢ２， 即（１６－ｒ）２＋８２＝ｒ２，解得ｒ＝１