课件06一元二次方程的根与系数的关系-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 目 录 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 随堂检测 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 学习目标 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2、一元二次方程的求根公式？ ( ) 一元二次方程的一般形式是： 知识回顾 新课导入 课时导入 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反 映了根与系数之间的联系， 一元二次方程根与系数之间 的联系还有其他表现方式吗? 新课讲解 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 【思考1】 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为已知数 ) 的两根为 x1 和 x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗? 方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 新课讲解 【思考2】 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? 新课讲解 知识点 由求根公式知 新课讲解 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 . 例 （2）3x2 +7x-9 = 0； x1 + x2 =− ， x1 x2 = 解：这里 a = 3 , b = 7, c = -9. Δ=b2 − 4ac = 72 – 4 × 3 × (− 9) = 157 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 （3） 5x – 1 = 4x2 . 解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0， 这里 a =4， b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 . 归纳 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0， 　　　　　 练一练 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 为x1，x2，则有 Δ≥0且 x1x2＞0 Δ≥0且 x1x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值大 两根异号且负根的绝对值大 结 论 知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 2 已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值． 导引：利用两根之和与积求解 例 解： 设这个方程的另一个根为m，则 ∵m＋2＝6，2m＝q. ∴ m＝