第01讲 反比例函数 （8个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第01讲 反比例函数 （8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2024春•让胡路区校级期中）下列关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义解答即可． 【解答】解：、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； 、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； 、可化为，符合的形式，是反比例函数，符合题意； 、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知一般地，形如，其中是常数的函数叫做反比例函数是解题的关键． 2．（2024•大渡口区模拟）已知函数是反比例函数，则的值为 　　． 【分析】根据反比例函数的定义得出，再求出即可． 【解答】解：函数是反比例函数， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如为常数，的函数叫反比例函数． 3．（2024•邗江区校级三模）已知函数， （1）当，为何值时是一次函数？ （2）当，为何值时，为正比例函数？ （3）当，为何值时，为反比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值； （2）根据正比例函数的定义知，，，据此可以求得、的值； （3）根据反比例函数的定义知，，，据此可以求得、的值． 【解答】解：（1）当函数是一次函数时， ，且， 解得：且； （2）当函数是正比例函数时，， 解得：，． （3）当函数是反比例函数时，， 解得：，． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的关系是形式． 题型二．反比例函数的图象 4．（2024•新邵县三模）已知反比例函数的图象如图所示，若点的坐标为，则的值可能为　　 A．3 B．6 C．7 D．8 【分析】根据待定系数法即可得到结论． 【解答】解：过作轴于，交双曲线于， 点的纵坐标为3，横坐标为， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2023•丰台区二模）在平面直角坐标系中，反比例函数 和 的图象如图所示，的值可以是 　　．（写出一个即可） 【分析】根据反比例函数的图象的特点即可得出答案． 【解答】解：如图， 当时，、的坐标分别为，， ， ． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． 6．（2023•邗江区校级二模）在平面直角坐标系中，设函数图象上的点坐标为．我们不妨约定：点的纵坐标与横坐标的差“”叫做点的“双减差”，而图象上的所有点的“双减差”的最小值称为函数图象的“幸福数”．例如：抛物线上有点，则点的“双减差”为6；当时，；该抛物线的“幸福数”为．据约定，解答下列问题． （1）求函数图象的“幸福数”； （2）若直线的“幸福数”为，求的值； （3）设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福数”是，求该抛物线的解析式． 【分析】（1）将函数变形为，当时，随的增大而减小，从而得到的最小值为3； （2）将函数变形为，令，则，由于，根据函数的增减性可得时，取最小值，从而得到，求得或2，又，得到； （3）由题意得抛物线顶点的坐标为，从而抛物线为，令，则对称轴是直线，由于时，抛物线的“幸福数”是，所以分三种情况讨论：①若的区间在对称轴的左边，即时，解得，不合题意舍去；②若的区间在对称轴的右边，即，解得，此时，取最小值，求解或4，再由，得到，从而得出抛物线解析式；③若对称轴在的区间内，则当，取最小值，求得，从而得出抛物线解析式． 【解答】（1）解：由得， 当时，随的增大而减小， 时，取最小值3，即函数图象的“幸福数”是3； （2）由可得， 令，则， ， 随的增大而增大， ， 时，取最小值， ， 或2， ， ； （3）抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上， 顶点坐标为 抛物线为， 令，对称轴是直线， ， ， ①当时，即，不合题意舍去； ②当，即， 此时当，取最小值， ， 解得或4， ， ， ． ③当，即， 此时当，取最小值， ， 解得， ． 综上所述，抛物线的解析式为或． 【点评】本题考查阅读材料解决问题，涉及一次函数、反比例函数以及二次函数函数性质以及增减性，正确理解题意，分类讨论是解题的关键． 题型三．反比例函数图象的对称性 7．（2023秋•甘州区校级期末）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数和反比例函数的另一个交点与点关于原点对称． 【解答】解：正比例函数和反比例函数的一个交点为， 另一个交点与点关于原点对称， 另一个交点是． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 8．（2024•江南区校级三模）如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则　　． 【分析】根据和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出的值，从而得出反比例函数的解析式． 【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积， 则圆的面积为． 因为在第一象限，则，， 根据勾股定理，． 于是，，（负值舍去），故． 点坐标为． 将代入， 得：． 故答案为：12． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式． 9．（江西模拟）如图，正方形中顶点在一双曲线上，请在图中画出一条过点的直线，使之与双曲线的另一支交于点，且满足线段最短． 【分析】根据双曲线的对称性质来确定点的位置． 【解答】解：连接交双曲线另一分支于点，这时线段最短． 理由：在另一分支上除了点外任取一点，连接、，在上取一点，连接，使， ， ， 线段最短． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 题型四．反比例函数的性质 10．（2024•沙坪坝区校级三模）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数性质解答即可． 【解答】解：反比例函数的图象经过第一、三象限， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 11．（2024•南岗区校级三模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 　　． 【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则，求出的取值范围即可． 【解答】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一三象限；时，函数位于二四象限． 12．（2024•宿豫区三模）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是 　　； （2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： ① ② ③ ①③ ②③ ④ ①④ ②④ ⑤ ①⑤ ②⑤ 由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的①③、①⑤、②③这3个， 所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 13．（2024•萨迦县一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 【分析】作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【解答】解：作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， 而， ， 而，即， ． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 14．（2024•东港区校级一模）如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为　　． 【分析】设点，求出、的长，根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到答案． 【解答】解：设点， 则， 的纵坐标为， ， ， 的横坐标为， ， △△， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．（2024•濮阳二模）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上，，反比例函数过的中点，交于点． （1）求的值； （2）以为圆心为半径作圆，与的图象的另一个分支交于点、．求图中阴影部分面积． 【分析】（1）根据正三角形的性质，直角三角形的边角关系以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可； （2）利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）如图，连接，过点作于点， 是正三角形，， ，， ， 在中，，， ，， ， ， ； （2）由中心对称图形的性质可知，，， ． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，正三角形的性质，解直角三角形，掌握反比例函数系数的几何意义，正三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 16．（2023秋•章丘区期末）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点　　 A． B． C． D． 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为，由此即可得到答案． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为， 四个选项中只有选项满足横纵坐标的乘积为， 选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为是解题的关键． 17．（2024•文昌二模）若双曲线的图象经过点和，则的值为 　　． 【分析】利用反比例函数系数得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：双曲线的图象经过点和， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数系数是解题的关键． 18．（2024•长沙一模）定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． （1）函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是 　　；（填序号） （2）若一次函数是“凡尔赛函数”，点，为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； （3）若点是二次函数（其中，，为常数，的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于、两点，由点、、、四点构成的四边形面积记为，求的取值范围． 【分析】（1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可； （2）根据点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为，解答即可； （3）点是二次函数 其中，，为常数，的“凡尔赛点”，解出、的值，代入 令得，解答即可． 【解答】解：（1）在函数和的图象上不存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上， 函数和不是“凡尔赛函数”； 在函数的图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上， 函数是“凡尔赛函数”； 故答案为：③； （2）点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为， ， 得； 当时，，满足条件； 当时， 关于的一元二次方程 有实数根， △， 解得， 又为整数， ，， 当 时，，解得； 当时， 解得（舍去），． 综上：，1，，． （3）点是二次函数 其中，，为常数，的“凡尔赛点”， “后凡尔赛点” 的坐标为， ， 解得， 令得， ． 令，则， ， ， 解得， 设， ， ， ． ． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解新定义是解题关键． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 19．（2024•双柏县三模）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据待定系数法求反比例函数解析式解答即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 20．（2024•新城区校级模拟）已知，，，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 　　． 【分析】根据题意可知，再由得出与互为相反数，所以与互为相反数，再根据即可得出结论． 【解答】解：，，，是同一个反比例函数图象上的两点， ， ， 与互为相反数，与互为相反数， ， ， ， 这个反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出与互为相反数，与互为相反数是解题的关键． 21．（2024•河南模拟）如图，点，在反比例函数的图象上，连接，． （1）求反比例函数的解析式和的值． （2）在直线（直线上各点的纵坐标均为上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标． 【分析】（1）把点，代入计算即可； （2）根据可得，再分两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）点，在反比例函数的图象上， ． ． ． （2）存在． 由（1）可得，，． 设经过点，的直线的解析式为． 则 解得 直线的解析式为． 过点作，交直线于一点，则这个点即为点． 由平行线之间的距离处处相等，可以得出． 直线的直线解析式为． 当时，， 此时点； 设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法，三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，利用平行线之间的距离处处相等解答是解题的关键． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 22．（2024春•江津区月考）已知一次函数与反比例函数的图象交于，则反比例函数经过点　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，将代入求得，则，继而可求反比例函数解析式为：，进而可判断选项． 【解答】解：由题意得，将代入， 得：， ． 将代入， ． 反比例函数解析式为：， ， ，同号，即所过点的横纵坐标同号， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，两个函数图象的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 23．（2024•钱塘区二模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为 　　． 【分析】根据反比例函数图象是中心对称图形可得，即，，两点坐标代入两个函数解析式求出、，最后求和即可． 【解答】解：反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， 点与关于原点对称， ，， ，， 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ，， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数等角的问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 24．（2024•兰山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【解答】解：（1）直线过点，． ， ， 一次函数的解析式为， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入，得， 点的坐标为， 观察图象，不等式的解集为或； （3）把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键． 分层练习 一、单选题 1． 下列说法中，正确的是（     ） A．满足不等式的的最大负整数是 B．若点、、在双曲线上，则 C．将双曲线绕原点旋转90°后，可得到双曲线 D．若双曲线与直线有交点, 则 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【详解】的解集是，的最大负整数是-4，A错；把点、、分别代入中，可得，、，故B错； 将双曲线绕原点旋转90°后，可得到双曲线，故C正确；若双曲线与直线有交点, 则，D错．故选C 2．图象经过点(2，1)的反比例函数是( ) A．y＝－ B．y＝ C．y＝－ D．y＝2x 【答案】B 【分析】设反比例函数解析式y=，然后把点（2，1）代入后计算出k的值即可． 【详解】设反比例函数解析式y=，把（2，1）代入得：k=2×1=2，所以反比例函数解析式y=． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式． 3．已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B纵坐标为，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】根据正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B的纵坐标为，可以得到关于和的方程组，然后化简，即可判断哪个选项是正确的． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点在第二象限，横坐标为，另一交点的纵坐标为， ， 化简，得， 解得：或, 因两函数的交点A在第二象限，故不合题意，舍去. 所以. 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，得出k1和k2的关系． 4．反比例函数在第一象限的图象如图，则k的值有可能是　　 A．4 B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】在反比例函数图象上找一点，根据此点的坐标范围即可得出结论． 【详解】 解：设， 由图可知，， ，即， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 5．一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据一次函数图象判定、的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，所以，则反比例应该位于第一、三象限，故本选项不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 6．如图，二次函数的图象如图所示，则反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，然后对照四个选项中的图象判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出， 所以一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限． A. 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，不符合题意； B. 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，不符合题意； C. 一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，符合题意； D. 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 7．已知y与x成反比例函数，且x=2时，y=3，则该函数表达式是（ ） A．y=6x B．y= C．y= D．y= 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【详解】试题分析：此题可先设出反比例函数解析式的一般形式（k≠0），再将x=2，y=3代入求得k的值即可． 解：把x=2，y=3代入得k=6， 所以该函数表达式是y=． 故选C． 考点：反比例函数的定义． 8．“已知：正比例函数 与反比例函数 图象相交于 两点， 其横坐标分别是 1 和﹣1，求不等式 的解集．”对于这道题，某同学是这样解答的：“由图象可知：当或 时，，所以不等式的解集是或”．他这种解决问题的思路体现的数学思想方法是(     ) A．数形结合 B．转化 C．类比 D．分类讨论 【答案】A 【知识点】反比例函数与一次函数的综合、求一元一次不等式的解集 【详解】试题分析：根据数形结合法的定义可知． 解：由正比例函数y1=kx（k＞0）与反比例函数y2=（m＞0）图象相交于A、B两点，其横坐标分别是1和﹣1，然后结合图象可以看出x＞1或﹣1＜x＜0时，y1＞y2，所以不等式kx＞的解集是x＞1或﹣1＜x＜0”． 解决此题时将解析式与图象紧密结合，所以解决此题利用的数学思想方法叫做数形结合法． 故选A． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合法是解决函数问题经常采用的一种方法，关键是要找出图象与函数解析式之间的联系． 9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与一次函数的综合 【分析】分两种情况分析：k>0与k<0时分别进行讨论即可得. 【详解】当k>0时，y=kx+1图象经过第一、二、三象限；在第二、四象限； 当k<0时，y=kx+ 1图象经过第一、二、四象限；在第一、三象限； 只有选项D符合条件. 故选D 【点睛】本题考核知识点：一次函数和反比例函数.解题关键点：理解函数图象的位置问题. 10．反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．1 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论． 【详解】 解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足， ∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=2，S△AOE=1，S△BOC=， ∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=2-1-． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 二、填空题 11．已知正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、正比例函数的性质、反比例函数与一次函数的综合 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其横纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点 ∴根据图象和性质可知， 其交点A(x1，y1)与B(x2， y2 )关于原点对称， ∴x1十x2=0，y1十y2=0， ∴=0， 故答案为：0 【点睛】本题考查一次函数、 反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提． 12．若是反比例函数，则m满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】先根据反比例函数的定义列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴1﹣2m≠0， 解得m≠0.5． 故答案为：m≠0.5． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数． 13．若反比例函数的图象在第一、第三象限，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，，解不等式即可得结果． 【详解】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一三象限；时，函数位于二四象限． 14．已知反比例函数的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数所在的位置确定，从而求得k的取值范围. 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的图象判断出k的取值范围是解答此题的关键． 15．已知正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=的图像相交于点A(2，y)、点B(x，-3)，则a= ． 【答案】6 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】先根据题意可知A、B两点关于原点对称，即x＝−2，y＝3，得到点A（2,3），代入y=即可求出a的值． 【详解】解：因为正比例函数和反比例函数是中心对称图形， 所以A、B两点关于原点对称， 即x＝−2，y＝3，则A（2,3）， 把点A（2,3）代入反比例函数y=得：a=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是熟知反比例函数是中心对称图形，得到点A的坐标． 16．已知点，在反比例函数的图象上，且，则的值为 （填“正数”或“负数”或“0”）． 【答案】正数 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小；对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵对于反比例函数，， ∴图象在一、三象限均有随的增大而减小 ∵， ∴ ∴的值为正数 故答案为：正数 17．如图，已知点A在反比例函数y＝的图象上，点B，C分别在反比例函数y＝的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴，若AB=2AC，则点A的坐标为 【答案】（2，1） 【知识点】反比例函数与一次函数的综合 【详解】首先设A（x，y），根据AB∥x轴，AC∥y轴，则可设B（a，y），C（x，y+AC），再根据A、B点所在图象的函数关系式得到a=2x，再算出AB的长，再由条件AB=2AC得到AC的长，进而表示出C点坐标，再根据C在反比例函数y＝的图象上，可算出x的值，即可得到A点坐标． 解：设A（x，y）， ∵AB∥x轴，AC∥y轴 ∴B（a，y），C（x，y+AC）， ∵A在反比例函数y＝的图象上， ∴xy=2， ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴ay=4， ∴a=2x， 则AB=2x-x=x， ∵AB=2AC， ∴AC=x， ∴C（x，x+y）， ∵C在反比例函数y＝的图象上， ∴x×（x+y）=4， x2+xy=4， x2+2=4， 解得：x=±2， ∵A在第一象限， ∴x=2， 则y=1， ∴A（2，1）， 18．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4），Q（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交P于点E，若四边形ACQE的面积为3，则点Q的坐标是 ． 【答案】（4，1） 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】首先利用和表示出和的长，根据反比例函数的几何意义可得，结合四边形的面积，可求得的值，从而求得答案. 【详解】AC＝m﹣1，CQ＝n， 则S四边形ACQE＝AC·CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n＝3． ∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴． ∴， ∴n＝1， ∵k＝mn＝4， ∴m＝4， ∴Q（4，1）． 故答案为（4，1）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用表示出四边形的面积是解题的关键. 三、解答题 19．的气体装在体积为的容器中，气体的密度为．写出密度与体积间的关系式． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】根据m=ρV，结合条件即可得到反比例函数的关系式． 【详解】解：∵m=ρV， ∴ρ=， ∴ρ与V的函数关系式是ρ=； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 20．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F． （1）若点B坐标为（﹣6，0），求图象经过A、E两点的一次函数的表达式是_____； （2）若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式是_____． 【答案】（1）y＝﹣x；（2）y＝﹣． 【知识点】反比例函数与几何综合、反比例函数与一次函数的综合 【分析】（1）作直线AE，利用矩形的性质得到A（﹣6，8），C（﹣3，0），D（﹣3，8），从而求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AE的表达式； （2）利用勾股定理计算出AE，从而求出AF，设B（t，0），则F（t，1），C（t+3，0），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出t的值，然后计算出m的值，从而得到此时反比例函数的表达式． 【详解】解：（1）作直线AE ∵矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，若点B坐标为（﹣6，0）， ∴A（﹣6，8），C（﹣3，0），D（﹣3，8）， ∵E是DC的中点， ∴E（﹣3，4）， 设直线AE的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣6，8），E（﹣3，4）代入得， 解得， ∴图象经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝﹣x 故答案为y＝﹣x； （2）∵AE＝＝＝5， 而AF﹣AE＝2， ∴AF＝7， 设B（t，0），则F（t，1），C（t+3，0），E（t+3，4）， ∵F（t，1），E（t+3，4）在反比例函数y＝的图象上， ∴t×1＝4（t+3）， 解得t＝﹣4， ∴F（﹣4，1）， ∴m＝﹣4×1＝﹣4， ∴若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式是y＝﹣． 故答案为y＝﹣． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、求一次函数解析式和求反比例函数解析式，掌握矩形的性质和利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式是解决此题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，OA＝3，OC＝2，且BE∥AC，AE∥OB． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）求经过点E的双曲线对应的函数解析式； （3）设经过点E的双曲线与直线BE的另一交点为F，过点F作x轴的平行线，交经过点B的双曲线于点G，交y轴于点H，求△OFG的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】求反比例函数解析式、证明四边形是菱形 【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再证明DA＝DB，即可得出结论； （2）求出点E的坐标，即可求解； （3）根据△OFG的面积S＝S△OHG﹣S△OHF，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB， ∴四边形AEBD是平行四边形． ∵四边形OABC是矩形， ∴DA＝AC，DB＝OB，AC=OB． ∴DA=DB． ∴平行四边形AEBD是菱形． （2）如图1，连接DE，交AB于点M， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB与DE互相垂直且平分． ∵OA=3，OC=2， ∴EM＝DM＝OA＝，AM＝AB＝1． ∴点E的坐标为(，1)． 设经过点E的反比例函数解析式为y＝， 把点E(，1)代得k＝， ∴双曲线的函数解析式为y＝． （3）设经过点B的反比例函数解析式为y＝， 把点B（3，2）代入得k1=6， ∴经过点B的反比例函数解析式为y＝． ∵直线FG∥x轴（如图2）， △OFG的面积S=S△OHG-S△OHF=|k1|-|k|=×6-× ． 【点睛】此题考查反比例函数综合运用，菱形的性质与判定，解题关键在于掌握判定定理． 22．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，；，； (2)图见解析；函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、用描点法画函数图象、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； （2）解：描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 23．如图，直线与双曲线相交于点，与x轴交于点C点．    (1)求双曲线表达式； (2)点P在x轴上，如果的面积为9，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式； （2）设，表示出的长，高为A纵坐标，根据面积求出x的值，确定出P坐标即可． 【详解】（1）把代入直线解析式得：， 解得：，   ∴． 把代入，得   解得：， ∴双曲线解析式为； （2）对于直线，令，则， 解得：，   ∴． 设，可得， ∵，且， ∴，即， 解得：或． ∴点P的坐标为或． 24．已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，；或； (2)． 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（）采用待定系数法即可求出； 采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出； （）结合题意，表示出点的坐标，然后将，两点代入到中即可求出； 本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入到中，得：，解得：， 把代入到中，得：，解得：， ∴， 综上：，； 如图所示： ∵，，结合图象， ∴当时，的取值范围是：或； （2）解：根据题意，， ∴， 把点，代入到中，得： ，解得：， 综上：． 25．如图， 已知反比例函数 的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交y轴于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图) (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据等边对等角证明、作垂线(尺规作图)、求反比例函数解析式 【分析】（1）直接把点A的坐标代入求出k即可； （2）利用尺规作出线段的垂直平分线m即可； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图，直线m即为所求．    （3）如图，    ∵平分， ∴， ∵直线m垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图-基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示． 销售量p（件） P=50—x 销售单价q（元/件） 当1≤x≤20时， 当21≤x≤40时， （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ （2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式． （3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件（2）（3）这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）分别将q=35代入销售单价关于x的函数关系式，求出x即可． （2）应用利润=销售收入－销售成本列式即可． （3）应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求． 【详解】解：（1）当1≤x≤20时，令，解得；； 当21≤x≤40时，令，解得；． ∴第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件． （2）当1≤x≤20时，； 当21≤x≤40时，． ∴y关于x的函数关系式为． （3）当1≤x≤20时，， ∵，∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5． 当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴随着x的增大而减小， ∴当x=21时，有最大值y2，且． ∵y1＜y2， ∴这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 反比例函数 （8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点7．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点8．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2024春•让胡路区校级期中）下列关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•大渡口区模拟）已知函数是反比例函数，则的值为 　　． 3．（2024•邗江区校级三模）已知函数， （1）当，为何值时是一次函数？ （2）当，为何值时，为正比例函数？ （3）当，为何值时，为反比例函数？ 题型二．反比例函数的图象 4．（2024•新邵县三模）已知反比例函数的图象如图所示，若点的坐标为，则的值可能为　　 A．3 B．6 C．7 D．8 5．（2023•丰台区二模）在平面直角坐标系中，反比例函数 和 的图象如图所示，的值可以是 　　．（写出一个即可） 6．（2023•邗江区校级二模）在平面直角坐标系中，设函数图象上的点坐标为．我们不妨约定：点的纵坐标与横坐标的差“”叫做点的“双减差”，而图象上的所有点的“双减差”的最小值称为函数图象的“幸福数”．例如：抛物线上有点，则点的“双减差”为6；当时，；该抛物线的“幸福数”为．据约定，解答下列问题． （1）求函数图象的“幸福数”； （2）若直线的“幸福数”为，求的值； （3）设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福数”是，求该抛物线的解析式． 题型三．反比例函数图象的对称性 7．（2023秋•甘州区校级期末）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为　　 A． B． C． D． 8．（2024•江南区校级三模）如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则　　． 9．（江西模拟）如图，正方形中顶点在一双曲线上，请在图中画出一条过点的直线，使之与双曲线的另一支交于点，且满足线段最短． 题型四．反比例函数的性质 10．（2024•沙坪坝区校级三模）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（2024•南岗区校级三模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 　　． 12．（2024•宿豫区三模）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是 　　； （2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率． 题型五．反比例函数系数k的几何意义 13．（2024•萨迦县一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 14．（2024•东港区校级一模）如图，矩形的顶点，分别为反比例函数与，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积为　　． 15．（2024•濮阳二模）如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上，，反比例函数过的中点，交于点． （1）求的值； （2）以为圆心为半径作圆，与的图象的另一个分支交于点、．求图中阴影部分面积． 题型六．反比例函数图象上点的坐标特征 16．（2023秋•章丘区期末）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点　　 A． B． C． D． 17．（2024•文昌二模）若双曲线的图象经过点和，则的值为 　　． 18．（2024•长沙一模）定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． （1）函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是 　　；（填序号） （2）若一次函数是“凡尔赛函数”，点，为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； （3）若点是二次函数（其中，，为常数，的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于、两点，由点、、、四点构成的四边形面积记为，求的取值范围． 题型七．待定系数法求反比例函数解析式 19．（2024•双柏县三模）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 20．（2024•新城区校级模拟）已知，，，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 　　． 21．（2024•河南模拟）如图，点，在反比例函数的图象上，连接，． （1）求反比例函数的解析式和的值． （2）在直线（直线上各点的纵坐标均为上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点的坐标． 题型八．反比例函数与一次函数的交点问题 22．（2024春•江津区月考）已知一次函数与反比例函数的图象交于，则反比例函数经过点　　 A． B． C． D． 23．（2024•钱塘区二模）若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则的值为 　　． 24．（2024•兰山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点的坐标． 分层练习 一、单选题 1． 下列说法中，正确的是（     ） A．满足不等式的的最大负整数是 B．若点、、在双曲线上，则 C．将双曲线绕原点旋转90°后，可得到双曲线 D．若双曲线与直线有交点, 则 2．图象经过点(2，1)的反比例函数是( ) A．y＝－ B．y＝ C．y＝－ D．y＝2x 3．已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A在第二象限，横坐标为，另一交点B纵坐标为，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．反比例函数在第一象限的图象如图，则k的值有可能是　　 A．4 B．2 C． D．1 5．一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图象如图所示，则反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（        ）． A． B． C． D． 7．已知y与x成反比例函数，且x=2时，y=3，则该函数表达式是（ ） A．y=6x B．y= C．y= D．y= 8．“已知：正比例函数 与反比例函数 图象相交于 两点， 其横坐标分别是 1 和﹣1，求不等式 的解集．”对于这道题，某同学是这样解答的：“由图象可知：当或 时，，所以不等式的解集是或”．他这种解决问题的思路体现的数学思想方法是(     ) A．数形结合 B．转化 C．类比 D．分类讨论 9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．1 二、填空题 11．已知正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则的值为 ． 12．若是反比例函数，则m满足的条件是 ． 13．若反比例函数的图象在第一、第三象限，则m的取值范围 ． 14．已知反比例函数的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是 . 15．已知正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=的图像相交于点A(2，y)、点B(x，-3)，则a= ． 16．已知点，在反比例函数的图象上，且，则的值为 （填“正数”或“负数”或“0”）． 17．如图，已知点A在反比例函数y＝的图象上，点B，C分别在反比例函数y＝的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴，若AB=2AC，则点A的坐标为 18．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4），Q（m，n）在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交P于点E，若四边形ACQE的面积为3，则点Q的坐标是 ． 三、解答题 19．的气体装在体积为的容器中，气体的密度为．写出密度与体积间的关系式． 20．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F． （1）若点B坐标为（﹣6，0），求图象经过A、E两点的一次函数的表达式是_____； （2）若AF﹣AE＝2，则反比例函数的表达式是_____． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，OA＝3，OC＝2，且BE∥AC，AE∥OB． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）求经过点E的双曲线对应的函数解析式； （3）设经过点E的双曲线与直线BE的另一交点为F，过点F作x轴的平行线，交经过点B的双曲线于点G，交y轴于点H，求△OFG的面积． 22．在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23．如图，直线与双曲线相交于点，与x轴交于点C点．    (1)求双曲线表达式； (2)点P在x轴上，如果的面积为9，求点P的坐标． 24．已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 25．如图， 已知反比例函数 的图象经过点和点B，点B在点A的下方，平分，交y轴于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图) (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接．求证：． 26．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示． 销售量p（件） P=50—x 销售单价q（元/件） 当1≤x≤20时， 当21≤x≤40时， （1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ （2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式． （3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$