第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 （2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 题型强化 题型一．根的判别式 1．（2024•广水市模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值为　　 A． B． C．0 D．1 2．（2024•古浪县三模）若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　． 3．（2024春•乳山市期末）已知关于的一元二次方程为实数且． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 题型二．根与系数的关系 4．（2024春•姜堰区校级期末）已知、是方程的两个根，则的值为　　 A． B．2 C． D． 5．（2024•中山市校级一模）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 6．（2023秋•岳阳期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值． 分层练习 一．选择题 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 2．若，是一元二次方程的两个根，则的值是　　 A． B． C． D．6 3．已知的边，长是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则另一边的长　　 A．2 B． C．4 D． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 5．一元二次方程根的情况是　　 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 7．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是　　 A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 9．中，，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 10．如图，菱形的边长是5，两对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的两根，则为　　 A． B．2 C．2或 D．或4 二．填空题 11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 12．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 13．若，是方程的两个根，则的值为 　　． 14．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 　　． 15．已知实数，满足，且，则　　． 16．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 17．已知实数，在数轴上的位置如图所示． （1）关于的不等式组，的解集为 　　； （2）关于的一元二次方程的根的情况是 　　．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根” 18．已知实数满足以下条件： ①关于的一元二次方程有实数根； ②的解集为． 则满足以上所有条件的整数的和为 　　． 三．解答题 19．已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值． 20．已知关于方程． （1）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21．已知，是方程的两个根． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 22．设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 24．已知关于的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求的值，并求出此时方程的另一根． 25．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，； ②，； ③，； ④，． 26．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元二次方程的根与系数的关系 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 题型强化 题型一．根的判别式 1．（2024•广水市模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值为　　 A． B． C．0 D．1 【分析】根据判别式即可求出答案． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △，且 且， 的最大整数值为， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式． 2．（2024•古浪县三模）若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是　且　． 【分析】根据非负数的性质求出、的值，转化成关于的不等式即可解答． 【解答】解：， ，， 原方程为， 该一元二次方程有实数根， △， 解得：， 方程是一元二次方程， ， 的取值范围是：且， 故答案为：且． 【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于的不等式是解题的关键． 3．（2024春•乳山市期末）已知关于的一元二次方程为实数且． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明； （2）利用因式分解法解出方程，根据题意求出． 【解答】（1）证明：依题意，得△ ． ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ，， 方程的两个实数根都是整数，且是正整数， 或， 或． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 题型二．根与系数的关系 4．（2024春•姜堰区校级期末）已知、是方程的两个根，则的值为　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据、是方程的两个根，得出，，再把变形为，然后代入计算即可． 【解答】解：、是方程的两个根， ，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 5．（2024•中山市校级一模）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 【分析】根据根与系数的关系得到，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程代入根的判别式后取舍即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不同的实数根，， ，， △ ， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，△，不符合题意，舍去； 当时，△，符合题意； 综上，． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 6．（2023秋•岳阳期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值． 【分析】（1）利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则判断，，则由得到，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值． 【解答】解：（1）根据题意得 △， 解得； （2），， ， ， 而， ，， ，即， 解得，， 而， ． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值． 分层练习 一．选择题 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且△，即，解得， 的取值范围为且． 当且时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义． 2．若，是一元二次方程的两个根，则的值是　　 A． B． C． D．6 【分析】根据根与系数的关系，可得出，，再代入即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两个根， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键要明确将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法． 3．已知的边，长是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则另一边的长　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】根据，长是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，利用即可求解． 【解答】解：，长是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 【分析】分情况①当，即时，②当，即时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到△，解不等式即可． 【解答】解：①当，即时，原方程化为，解得：， 即符合题意； ②当，即时， 关于的方程有实数根， △， 且， 综上所述：的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键． 5．一元二次方程根的情况是　　 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】求出△的值，再判断即可． 【解答】解：， △， 所以方程没有实数根， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 6．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 【分析】根据根的判别式即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程， △， ， ， 方程有两个不相等的实根， 故选：． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根的判别式判定方程的根是解题的关键． 7．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】当、异号时，△，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则△，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出△，则可对④进行判断． 【解答】解：△， 当、异号时，，所以△，所以此时方程一定有实数根，所以①正确； 若时，△，则方程一定有两实数根，所以②正确； 若，，，△，所以方程没有实数根，所以③错误． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 8．已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是　　 A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】求出△，只要说明这个式子的值的符号，问题可求解．根据三角形的三边关系即可判断． 【解答】解：△， 根据三角形三边关系，得，， △， 该方程没有实数根． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对进行因式分解． 9．中，，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用三角形三边关系求解． 【解答】解：，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积， ，， 对角线长的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了三角形三边的关系和平行四边形的性质． 10．如图，菱形的边长是5，两对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的两根，则为　　 A． B．2 C．2或 D．或4 【分析】设，，根据根与系数的关系得到，，利用判别式的意义得到，再根据菱形的性质和勾股定理得到，则，即，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值． 【解答】解：设，，则，， △，解得， 的范围为， 四边形是菱形， ， 在中：， 即， ， ， ， ，解得，， 时，，不合题意， 的值为， 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式和菱形的性质． 二．填空题 11．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 【分析】利用根与系数的关系求解． 【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 12．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【分析】由根与学生的关系可得，再进一步解答可得答案． 【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根， △，即，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键． 13．若，是方程的两个根，则的值为 　7　． 【分析】根据根与系数的关系，即可得出、的值，整体代入此题得解． 【解答】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 14．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 　　． 【分析】利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式，从而可确定的取值范围． 【解答】解：一元二次方程无实数根， △， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 15．已知实数，满足，且，则　50　． 【分析】由两个方程的形式可知，，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系并代入计算即可． 【解答】解：由题意可知，，是方程的两个根， ，即， ， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查考查根与系数的关系、绝对值，确定，是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键． 16．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　． 【分析】根据根与系数的关系得到，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程代入根的判别式后取舍即可． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不同的实数根，， ，， △ ， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，△，不符合题意，舍去； 当时，△，符合题意； 综上，． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 17．已知实数，在数轴上的位置如图所示． （1）关于的不等式组，的解集为 　　； （2）关于的一元二次方程的根的情况是 　　．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根” 【分析】（1）根据数轴得到，结合大大取大确定解集即可． （2）根据数轴得到，计算根的判别式即可． 【解答】解：（1）根据数轴得到， 关于的不等式组的解集为， 故答案为：； （2）根据数轴得到， 的判别式为△， 有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了数轴比较大小，确定不等式组的解集，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的计算是解题的关键． 18．已知实数满足以下条件： ①关于的一元二次方程有实数根； ②的解集为． 则满足以上所有条件的整数的和为 　4　． 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义可得且，根据一元一次不等式组的解集得出，进而求得的范围，即可求解． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根； △，且， 解得：且， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 且， 足以上所有条件的整数的和为， 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，解一元一次不等式组，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根是解题的关键． 三．解答题 19．已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围； （2）由题意可得，设该方程的根是，，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根， △， ； （2）为符合条件的最小整数，， ， 原方程为：， 设该方程的根是，， ，， 解得，或，（不合题意，舍去）， 的值为3． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 20．已知关于方程． （1）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）根据方程有一根为3，将代入方程求出的值，确定出方程，即可求出另一根； （2）根据根的判别式判断可得结论． 【解答】解：（1）把代入方程得， ， 方程为， ，，即方程另一个根是； （2）证明：△ 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键． 21．已知，是方程的两个根． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）由，是方程的两个相等实数根，根据根的判别式的意义得到△，即，解关于的方程即可； （2）根据根与系数的关系，，代求出的值即可． 【解答】解：（1）△ ， ，是方程的两个相等实数根， △， ； （2）由题意可得，， 又， ， 即， ，， 又， ． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 22．设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【分析】根据1根的判别式的意义，△时，一元二次方程有两个实数根，则可判断，时方程有两个实数根，然后利用公式法解方程即可． 【解答】解：△时，一元二次方程有两个实数根， 当，时，这个方程有两个实数根 此时方程为， 解得． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【分析】（1）利用根的判别式即可解决问题． （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， ， 解得． 又， 所以的取值范围是且． （2）因为该方程有两个实数根分别为、， 所以，． 又， 即， 所以， 解得， 经检验是原方程的解． 又且， 所以． 【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 24．已知关于的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求的值，并求出此时方程的另一根． 【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证； （2）把代入方程求出的值，确定出方程，即可求出另一根． 【解答】（1）证明：这里，，， △， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得：， 解得：，即方程为， 设另一根为，根据题意得：， 解得：． 【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①，； ②，； ③，； ④，． 【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知、的值可在②③中选取，然后求解． 【解答】解：使这个方程有两个不相等的实数根， ，即， ②③均可， 选②解方程，则这个方程为：， ， ，； 选③解方程，则这个方程为：， ，． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 26．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【分析】（1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，，则利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）△， ， ，， ， 方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 即， ， ， 当时，有最大值，最大值为48． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了二次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$