八年级下册分章复习 第十七章 勾股定理-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】人教版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十七章 勾股定理 1.勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么a2+b2= . 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c 满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股数 满足a2+b2=c2 的三个正整数,称为勾 股数. 4.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反,我 们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把 其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 逆命题.原命题正确,但它的逆命题不一定 正确. 例1 如图是用硬纸板做成的四个全等 的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边 长为c)和一个边长为c的正方形,请你将它 们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图. (2)证明勾股定理. 解析:动手操作拼图,然后通过计算图形 的面积来证明勾股定理. 答案:方法一:(1)如图所示: (2)证 明:∵大 正 方 形 的 面 积 表 示 为 (a+b)2,大正方形的面积也可表示为c2+ 4× 1 2ab , ∴(a+b)2=c2+4× 1 2ab ,a2+b2+2ab =c2+2ab,∴a2+b2=c2.即直角三角形两 直角边的平方和等于斜边的平方. 方法二:(1)如图所示: (2)证明:大正方形的面积表示为c2,又 可以表示为1 2ab×4+ (b-a)2, ∴c2= 1 2ab×4+ (b-a)2,c2=2ab+ b2-2ab+a2, ∴c2=a2+b2.即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方. 评注:以上例题给学生设置了一定的活 动情境,给学生提供了操作探究和自主学习 的空间,要求在动手操作的基础上进行探究、 归纳、总结,从而得出结论. 例2 图1是我国古代著名的“赵爽弦 图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形 53 第 一 部 分 夯 实 基 础 围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角 形中边长为6的直角边分别向外延长一倍, 得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的 外围周长是 . 解析:因为△BCD 是直角三角形,BC= 5,AC=AD=6,利用勾股定理求出BD,因 此这个风车的外围周长即可求解. 解:根据题意,得 BD= BC2+CD2= 52+122=13,又AD=6,这个风车的外围 周长由4个叶片组成,所以这个风车的外围 周长是76. 答案:76 评注:解本题的关键是正确理解各边与 正方形之间的关系. 例3 已知△ABC 的三边长分别为5, 13,12,则△ABC 的面积为 ( ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定 解析:因为52+122=132,根据勾股定理 逆定 理 可 知△ABC 是 直 角 三 角 形,所 以 △ABC 的面积为30,只有A符合题意. 答案:A 评注:解答本题的关键是根据勾股定理 逆定理判断△ABC 的形状. 例4 如图,长方体的长为15,宽为10, 高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B, 需要爬行的最短距离是 ( ) A.5 21 B.25 C.105+5 D.35 解析:从点A 到点B 的路线是折线,先 将长方体侧面展开,使点A 与点B 在同一平 面,然 后 根 据“两 点 之 间 线 段 最 短”求 最 短 路径. 解:将长方体侧面展开如图所示,线段 AB 的长就是最短距离,△ABD 为直角三角 形,所 以 AB= AD2+BD2 = 202+152 =25. 答案:B 评注:最短距离问题是勾股定理在实际 生活中的具体应用,一般地,求最短距离要把 “立体问题”转化为“平面问题”,再利用“两点 之间线段最短”,或“点到直线垂线段最短”以 及“勾股定理”等知识来解决问题,这类问题 涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱 等.在将几何体的表面展开时,要注意确定展 开图中两点的相应位置. 例5 有一块直角三角形的绿地,量得 两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地 扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为 直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形 绿地的周长. 解析:由于本题中等腰三角形没有画出 63 第 一 部 分 夯 实 基 础 来,因此,本题解答时应注意等腰三角形的不 同情况,即分三种情况来解答. 答案:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=8,BC=6.由勾股定理有:AB=10,扩 充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD 应 分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10 时,可求得CD=CB=6,得△ABD 的周长 为32m.②如图2,当AB=BD=10时,可求 得CD=4,由勾股定理得:AD=4 5,得 △ABD 的周长为(20+45)m.③如