17.2勾股定理的逆定理教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

教学设计 教学内容 17.2勾股定理的逆定理 参与备课教师 八年级所有数学老师 课标分析 《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“勾股定理的逆定理”一节明确提出，学生需经历逆定理的探索过程，理解其作为直角三角形判定定理的核心地位，并知悉其与勾股定理（性质定理）的联系与区别。课标强调通过具体实例，使学生了解逆命题、逆定理的概念，能识别两个互逆命题，并认识到原命题成立其逆命题不一定成立。 该内容的学习，旨在让学生体验数形结合思想，掌握通过代数计算处理几何问题的方法（即通过三边数量关系判定三角形形状），从而拓展数学思维，感受数学方法的多样性。同时，要求学生能初步应用逆定理解决简单的实际问题，深化数学模型的应用意识，提升分析问题和解决问题的能力。 教材分析 本节课是人教版八年级数学教材下册第十七章勾股定理第二节内容，勾股定理逆定理单元以历史故事“古埃及绳结法画直角”为情境引入，通过测量操作归纳三边平方和规律，逐步推导出逆定理内容。教材编排注重逻辑递进，先实验验证后严谨证明，采用构造全等三角形的方法完成定理推导。特色栏目包含几何画板动态演示、分层习题系统（基础判断、实际问题解决、勾股数规律探索）及跨学科实践任务，如测量旗杆高度，强化数形结合思想与数学建模能力，同时为后续平行四边形等章节的学习奠定基础。 学情分析 本节课教学对象为八年级3班与5班共108名学生，整体数学基础处于中等水平。约三分之一学生表现出较强的探究意愿，能主动参与实验操作与逻辑推理；但其余学生存在学习兴趣不足、对抽象几何证明畏难情绪明显的问题。上学期勾股定理单元学习中，学生虽能记忆公式，但近半数无法灵活运用三边关系判断直角三角形，计算准确率仅65%。当前学情显示：部分学生能通过测量实验发现规律，但在将操作经验升华为定理证明时存在困难；少数学生混淆原命题与逆命题的条件，逆向思维能力和数形结合意识薄弱。需通过绳结实验、动态演示等具象活动突破理解难点，结合分层任务强化定理应用能力。 教学目标 1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形． 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用． 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及其关系． 4.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律. 教学重点 勾股定理的逆定理的理解及其应用． 教学难点 探究勾股定理的逆定理. 课型课时 新课 第1课时 教学方法 历史情境导入,实验探究归纳,问题驱动推理,数形结合验证,合作辩论深化,分层任务巩固,变式训练拓展 教学活动 教学步骤 师生活动 设计意图 活动一：引用故事，导入新课 【故事导入】（播放视频） 同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗？ 据说，古埃及人用右图的方法画直角：把一根长绳 打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结 间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个 三角形，其中一个角便是直角． 你知道为什么吗？今天我们就来学习其中的原因. 通过讲古代数学故事，引出勾股定理的逆定理的学习.播放视频引起学生兴趣. 活动二：问题引入，自主探究 . 探究点1　勾股定理的逆定理 类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果． (1)让一根绳子的一端与0刻度线重合，分别在3 cm，7 cm，12 cm处做标记，得到长度分别为3 cm，4 cm，5 cm的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． (2)类似(1)的操作，以2.5 cm，6 cm，6.5 cm和4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形． 答：是直角三角形． (3)结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形？用命题形式表述． 答：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 探究点2　互逆命题与互逆定理 1．互逆命题 (1)回想17.1，其中的命题(如果直角三角形的两条直角边长分别为a， 引导学生动手探究，发现勾股定理的逆定理 教学步骤 师生活动 2.互逆定理 我们在“探究点1”中得到的命题只是我们的猜想，怎么证明它呢？ 如图①，已知△ABC的三边长分别为a，b， c，且满足a2＋b2＝c2，怎么证明△ABC是直 角三角形呢？ 1. 回想17.1中用勾股定理证明“HL”，借助全 等三角形的知识，如图②，画一个Rt△A′B′C′， 使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°.△ABC与△A′B′C′全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？ 答：全等．根据勾股定理，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2＝c2，∴ A′B′＝c. 在△ABC和△A′B′C′中，BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形． (2)我们知道两个内角互余的三角形是直角三角形，现在还可以依据什么判断一个三角形是直角三角形？ 答：还可以依据上面证明的命题． 归纳总结：我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 补充说明：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． (3)勾股定理是正确的，其逆命题也是正确的，是不是说明原命题成立，其逆命题一定成立呢？有没有反例说明？ 答：不一定．比如命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立． 例1　(教材P32例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289， 所以152＋82＝172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． (2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225， 所以132＋142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形． 延伸概念：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【对应训练】 1．以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有( B ) ①5，12，13；②1，2，4；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5. A．1个　　 　B．2个　　 C．3个　　 D．4个 2．有下列4组数：①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④ 教学步骤 师生活动 30，40，50.其中，勾股数有( B ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3～4.教材P33练习第1～2题． 活动三：重点突破，提升探究 例2　四边形ABCD的各边长如图所示，对角线BD＝10，求四边形ABCD的面积． 解：∵AD＝8，AB＝6，BD＝10，CD＝26，BC＝24， ∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝CD2. ∴△ABD和△BDC都是直角三角形， 且∠A＝90°，∠DBC＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝×6×8＋×10×24＝144. 答：四边形ABCD的面积是144. 巩固学生对勾股定理的逆定理的认识. 活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：勾股定理的逆定理是什么？什么是逆命题？什么样的数叫做勾股数？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P34习题17.2第1，2，7题． 板书设计 17.2　勾股定理的逆定理 第1课时　勾股定理的逆定理 1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 2．互逆命题与互逆定理 (1)互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题就叫做互逆命题． (2)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 3．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 教学反思 教研组长审核 学科网（北京）股份有限公司 $$