第02讲 集合的表示-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第02讲 集合的表示 1. 了解集合的表示． 2. 能用列举法、描述法表示集合． 知识点一 列举法 1．将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内，用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关． 2．应用列举法表示集合时的四个注意点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开； (2)集合中的元素必须是明确的； (3)集合中的元素不能重复； (4)集合中的元素可以是任何事物． 知识点二 描述法 1．将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．{x|p(x)}中为集合的代表元素，p(x)指元素x具有的性质． 2．应用描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中代表元素的符号，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母． 知识点三 Venn图 为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 知识点四 集合的分类 1．集合的分类：按照集合中元素的个数分类． (1)有限集：含有有限个元素的集合称为有限集； (2)无限集：含有无限个元素的集合称为无限集； (3)空集：把不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 2．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 3．注意∅，0，{0}与{∅}之间的关系 区别 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 考点一：用列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合； (3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合． 【总结】 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 变式 用列举法表示下列给定的集合． (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； (3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合C. 考点二：用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合． (1)被3除余1的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于4的所有偶数． 【总结】 用描述法表示集合的2个步骤 [注意]　描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法． 变式 用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合． 考点三：集合表示法的综合应用 例3 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 【总结】 集合与方程综合问题的解题策略 (1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不等的实数解； (2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用． 变式 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中有2个元素，求k的取值范围． 考点四：集合相等 例4 (1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”) (2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________． 【总结】 已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程组，求解时还要注意集合中元素的互异性. 变式 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值． 1．下列集合的表示方法正确的是(　　) A.第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B.不等式x－1<4的解集为{x<5} C.{全体整数} D.实数集可表示为R 2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元