第01讲 集合的概念-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系． 2. 能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 3. 了解空集的含义． 知识点一 元素与集合的概念 1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合． 2．元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母表示． 3．集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等． 4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 特性 含义 确定性 集合中的元素必须是确定的．因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合中的元素，应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 知识点二 元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，那么就记作，读作“a属于A”． 2．不属于：如果a不是集合A的元素，那么就记作，读作“a不属于A”． 3．常见的数集及符号表示 数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 考点一：集合的含义 例1 (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是(　　) A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 【总结】 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式 (多选)现有以下说法，其中正确的是(　　) A．接近于0的数的全体构成一个集合 B．正方体的全体构成一个集合 C．未来世界的高科技产品构成一个集合 D．不大于3的所有自然数构成一个集合 考点二：元素与集合关系的判断 例2 下列关系中，正确的有(　　) ①∈R；② ∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q. A.1个 B．2个 C.3个 D．4个 变式 用“∈”，“∉”填空． 已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A． 例3 若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 【总结】 1．判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2．已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验． 变式 方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素． 考点三：集合中元素的特性及应用 例4 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 【总结】 根据集合中元素的特性求参数的3个步骤 变式 已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________． 考点四：根据集合相等求参数 例5 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 022＋ b2 022的值． 【总结】 从集合相等的定义入手，结合元素的无序性，寻找元素之间的关系．若集合中的元素不止一个，需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍． 变式 集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________． 1．下列说法正确的是(　　) A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B.由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等 C.不超过20的非负数组成一个集合 D.方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 2．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　) A.锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．等腰三角形 3．(多选)下列说法正确的有(　　) A.N与N*是同一个集合 B.N中的元素都是Z中的元素 C.Q中的元素都是Z中的元素 D.Q中的元素都是R中的元素 4．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________． 5．集合A中有