专题13 点线式秒杀函数压轴题02、等腰（直角）三角形存在性-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题13 点线式秒杀函数压轴题02、等腰（直角）三角形存在性 二次函数与特殊图形的存在性的融合，是中考数学的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。 函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。 点：（即所用到的点的坐标）， 线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。 式：分情况列出函数关系式或方程。 等腰三角形的存在性： 1.先确定三点坐标 2.求出三边长度。 3.两两相等得方程。 直角三角形的存在性： 1.先确定三点坐标 2.求出三边长度。 3.利用勾股，分情况列方程。 等腰直角三角形的存在性： 法一：选利用等腰三角形的存在性，确定为等腰三角形，再用勾股定理难是否为直角三角形。 法二：可以先画出确定直角，画出基础图形，再利用等腰三角形的存在性来证明是等腰三角形。 本专题需要用的黄金公式：距离三大公式。 黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差） 黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差） 黄金公式三：万能距离，勾股定理。 ( 实战训练 ) 一．等腰三角形存在性 1．正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y（x＞0）． （1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y（x＞0）的关系式； （2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E， ①求△A'EF的面积； ②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线C1：y1＝ax2+2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P． （1）直接写出抛物线C1的对称轴是 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 ； （2）把抛物线C1绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线C2（其中m＞0），抛物线C2与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当m＝1时，求线段AB的长； ②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由； 3．如图1，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x上，点C在y轴上，且AC＝BC． （1）求抛物线的对称轴及点C、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC1，再将△AOC1绕平面内某点旋转180°后得△A1O1C2（A，O，C1分别与点A1，O1，C2对应），使点A1，C2在抛物线上，求A1，C2的坐标． （4）若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），连接AC，BC．动点D从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE，设运动时间为t秒（0＜t＜3）．请解答下列问题： （1）求二次函数关系式； （2）在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形BCDE的面积最小，最小值为多少？ （3）当t为何值时，△AED是等腰三角形？请直接写出t的值． 5．如图，抛物线L：y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线L向右平移一个单位得到抛物线L'． （1）求抛物线L与L'的函数解析式； （2）连接AC，探究抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点C（m，0）（0＜m＜4）在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段AB于点D，交该抛物线于点P，连接OP交AB于点E． （1）求点A，B的坐标； （2）当m＝2时，求线段PE的长； （3）当△BOE是以BE为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可） 7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F． （1）求抛物线的解析式： （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时