十九 圆与折叠问题-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十九 圆与折叠问题 【思路梳理】 1.折叠前的弧所在的圆心、折叠后的弧所在的圆心，关于折痕对称；利用这点可以画出折叠后的弧； 2.弧的折叠性质------“折叠出等腰”：“折叠的弧上某点+折痕的一个端点”组成的线段=“圆上某点+折痕上的一个端点”组成的线段，这三点构成的三角形是等腰三角形； 【图解】将沿弦AB翻折，与弦AC交于点D,则①折叠前后两弧的圆心O与O1关于弦AB对称；②作D关于弦AB的对称点D1，则△AD1B≌△ADB;③由全等性质可得∠ADB=∠AD1B,由圆内四边形性质可得∠C+∠AD1B=180°，由∠BDC+∠ADB=180°可得∠C=∠BDC,△BDC是等腰三角形 【范例详解】 例.如图,已知△ABC内接于⊙O，AB=AC=8,将沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D,则⊙O的半径为_____ 【解析】(1)先挖掘圆的折叠性质----“等腰三角形”：作D关于弦AB的对称点D1，则△AD1B≌△ADB，则可得∠ADB=∠AD1B,由圆内四边形性质可得∠C+∠AD1B=180°，由∠BDC+∠ADB=180°可得∠C=∠BDC,即△BDC是等腰三角形，BD=BC；(2)则△CBD与△CAB构成相似典型模型“共角模型”，易证△CBD∽△CAB，可得BC2=CD·AC=4×8=32,则BC=4;(3)连接OD，由垂径定理可得OD⊥AC，由AB=AC联想到等腰三角形的三线合一性质，故作AG⊥BC于点G，依对称性可知AG经过圆心O，则CG=BG=BC=2,由AG=,由“共角模型”易证△AOD∽△ACG，可得,即,可得OA=,故选B 【典型练习】 1.如图，将劣弧沿弦AB翻折，D是优弧上一点，连接AD，交于点C，连接BC、BD，若BC=5,则BD的长为____________ 2.如图，将沿弦AB翻折过圆心O，P是优弧上一点，连接AP，交于点C，连接BP,则∠APB____________ 3.如图，将⊙O的劣弧沿弦AB翻折，D是优弧上一点，连接AD，交于点C，连接BC，若∠AOB=80°，则∠DCB=________ 4.如图，在⊙O中，点C在优弧上一点，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，若圆的半径为，AB=4，则BC=______ 5.如图，在半圆O中，将沿BC折叠交直径AB于点D，若AD=4，DB=8，则BC=________ 6.如图，将沿弦AB翻折过圆心O，交弦AC于点D，若AD=1,CD=2,则AB的长为____________ 7.如图，C是半圆上一点，AB是直径，将沿BC翻折交AB于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，若E是的中点，AC=,AD=2，则阴影部分的面积为________ 【参考答案】 1.【解析】先找出圆的折叠性质：“等腰三角形”，易得△BCD是等腰三角形，故BD=BC=5; 2.【解析】挖掘条件“将沿弦AB翻折过圆心O”，作O关于弦AB的对称点O1,由OA=OO1=AO1可知△AOO1是等边三角形，则∠OAF=30°、∠AOF=60°,由“圆周角与垂径定理关系”可得∠APB=∠AOF=60° 3.【解析】在优弧上任取一点E，连接AE、BE，则∠E=∠AOB=40°，由圆内接四边形对角互补性质可得∠AC1B=140°，则∠ACB=140°，∴∠DCB=40°; 【注】熟悉圆中折叠性质，可直接知△BCD为等腰三角形，则∠DCB=∠ADB=∠E=40°; 4.【解析】(1) 先挖掘圆的折叠性质----“等腰三角形”：如图1，易知AC=CD，故作CE⊥AD于点E，则AE=DE=1，(2)再挖掘条件“将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D”：如图2，连接OD、OB，则OD⊥AB，在Rt△ODB中，由OB=,BD=2,可得OD=1；(3)作OF⊥CE于点F，由OD=DE=1易证四边形OFED是正方形，则EF=OD=1，OF=DE=1;连接OC,在Rt△OCF中，由OC=,OF=1,可得CF=2；则CE=3，在Rt△BCE中，由CE=3,BE=3可得BC= 5.【解析】(1)先找出圆的折叠性质：“等腰三角形”，如图1，易知△ACD是等腰三角形，CA=CD,则作CE⊥AD于点E，则AE=DE=AD=2，如图2；(2)Rt△ABC中出现相似的典型模型“双垂模型”，由相似性质或射影定理可得BC2=BE·AB=10×12=120,则BC=2 6.【解析】(1)先找出圆的折叠性质：“等腰三角形”，如图1，易知△BDC是等腰三角形，BD=BC,则作BE⊥AC于点E，则DE=EC=1；(2)挖掘条件“将沿弦AB翻折过圆心O”，作O关于弦AB的对称点O1,由OA=OO1=AO1可知△AOO1是等边三角形，则∠OAF=30°、∠AOF=60°；(3)由“圆周角与垂径定理关系”可得∠AOF=∠C=60°,则B