十八 圆与无刻度直尺作图题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十八 圆与无刻度直尺作图题型 【知识梳理】 1.无刻度直尺作图，直尺只能用于连接线段或作直线，所以从解题的角度而言，就是一道无完整图、无题目条件只知所作结论的几何证明题，所以先画示意图(草图)，结合格点、网格中隐藏的直角三角形、及相应的几何性质及特点进行论证证明，是解题的关键。 2.圆与无刻度直尺作图的作图细节 (1)作互余的角或垂直关系，联想到“直径所对的圆周角会等于90°”； (2)作相等的角，联想到“同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等”； (3)作角平分线时，联想到“等圆周角或圆心角所对的弧相等”，找到弧的中点； (4)作中点时，联想到“垂径定理”； (5)作圆心时，联想到“90°所对的圆周角是直径、两条直径的交点是圆心”、“不平行的任意两条弦的垂直平分线的交点是圆心” (6)作圆内三角形的高线，联想到“直径所对的圆周角会等于90°”及“三角形三条高线会交于一点” 3.圆中无刻度直尺作图，最终是“找点、找线”，存在一定的作图规律或作图技巧；平时练习时，多归纳多总结； 【范例详解】 例.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． (1)线段的长等于___________； (2)若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）． 【解析】(1)网格题型中求线段长，勾股定理、相似与三角形函数。此题只需根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算即可； 解：从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，∴， (2)①由题可知，△MBN是等腰直角三角形，先画草图，先画任意的∠MBN=90°,由直径所对的圆周角等于90°可知，先画出△MBN的外接圆，且MN是直径，而且只能利用已知中的格点，即需要加上某一个格点，这样就构成四点共圆，可利用内接四边形对角互补性质画出这个圆，由图1-1可知，只要∠MEN=90°便可得出E、N、B、M四点共圆，EF是处于3×1的矩形对角线，找一个过E点的3×1的矩形对角线，利用“一线三垂直模型”便可作出过E点的直角，如图1-2中的G点，连接EG交PD于点M，便可得∠MEF=90°,接下来要确定点N的位置； ②确定N点的位置，由图1-1易知，∠ABM=∠CBN，即只需作∠CBN即可，它必定与原图中的圆与其它格点有关系，即利用该圆的性质来确定N点的位置，由1-1可知，这两个角都是该圆的圆周角，知识点就明确了“利用等弧所对的圆周角相等“这一圆的性质来作∠CBN。先确定△ABC的外接圆的圆心，由图可知∠ABC=90°,连接AC与网格线交于点O，O点即为△ABC的外接圆的圆心，设BM与⊙O交于点H，由∠ABM所对的弧是,只要把转移到点C位置，就可以作出∠CBN。可以通过“圆心角定理：等圆心角对等弧“来转移。连接HO并延长交⊙O于点Q，由∠AOH=∠COQ可得,连接BQ交射线于点N，则由可得∠ABH=∠CBQ，由∠ABC=90°可得∠MBN=90°，接下来证明BM=BN； ③要证BM=BN，利用格点组成的线段寻找BM、BN所在三角形全等，在图1-3中不难找出△BGM与△BGN，由图易知四边形GEFB是正方形，则∠MBN=∠GBF=90°可得∠GBM=∠FBN，∵∠G=∠BFE=90°，则△BGM≌△BGN，BM=BN. (2)解：如图1-5，连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点G，连接GE交射线PD于点M，连接BM，交相交于点H；连接并延长交相交于点Q；连接并延长交射线相交于点N，则点M，N即为所求， 【典型练习】 1.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的BC、AC边于点D、E，请在图中用刻度的直尺画出三角形的三条高，并大致画法. 2.如图，点A、B在⊙O上，请只用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中∠A的余角 (1)如图1，点C在⊙O上；(2)如图2，点C在⊙O内； 3.在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕 迹）． (1)若AB=AC,在图1中作弦EF，使EF∥BC； (2)若AB=AC,在图2中以BC为边作一个45°的圆周角． (3)若AB≠AC,在图3中作△ABC中BC边上的高. 4.⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图1，AC=BC；(2)如图2，直线m与⊙O相切于点P,且m//BC； 5.如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D. (1)请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线； (