十二 圆内接正多边形的计算题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十二 圆内接正多边形的计算题型 【知识梳理】 1.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆的内接正多边，这个圆叫该正多边形的外接圆. 如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正多边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径； ∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距. 2.熟记下列结论 （1）正n边形的性质： ①正n边形的每个中心角（圆心角）都相等，都等于； ②正n边形的每个外角都相等，都等于； ③正n边形的每个内角（圆周角）都相等，都等于 （2）特殊的正多边形内角、中心角、半径、边长、边心距、周长、面积等关系 【范例详解】 例1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB为______ 【解析】连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB＝＝60°， ∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB＝∠ADB＝30°， 例2.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为______ 【解析】连接AD、CF与AD交于点O，∵为正六边形，∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形的边长为4mm， 【典型练习】 1．如果一个正三角形的外接圆的半径长为2，那么这个三角形的边长为________． 2．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为____ 3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则∠F＝_____ 4.如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 5.如图，在正六边形中，连接，则____________度． 6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O点F为的中点，直线AP与⊙O相切于点A，则∠FAP的度数是____ 7．婷婷在发现一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12cm，则该圆的半径为________cm． 8.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm． 9.如图，是五边形的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=______ 10.如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为___ 11.如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为_______ 12.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为_____ 13.如图，正八边形内接于⊙，若⊙的半径为1，则正八边形的面积为______ 14.如图，已知⊙是小正方形外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________． 15.如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为_______ 16.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线m将正六边形面积平分，则直线m被正六边形所截的线段长是_____． 17.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆 来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1， 则S﹣S1＝ ． 18.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为______ 19.如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10= 20．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ． 【参考答案】 1．【解析】如图：正三角形ABC，半径OA＝OB＝OC＝2，延长AO交BC于H，∵∠BOC＝360°÷3＝120°，O为正三角形中心，∴∠BHO＝90°，∠BOH＝60°，BC＝2BH，∴BH＝OB•sin60°＝，∴BC＝2． 2．【解析】题目未给P点的位置图，没图的几何题首先考虑分类讨论，连接OA，OB，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，①当点P不在上时，∠APB＝∠AOB＝30°，②当点P在上时，