十一 圆常用六大定理运用题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

十一 圆常用六大定理运用题型 ☆弦切角定理☆ 【知识梳理】 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 如图1，直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中有4个弦切角：APC，APD，BPD，BPC. （2）弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 如上图2，连接CD，在上任取两点M、N，则有：APC=CDP，APD=PND，BPC=PCD，CPD=CMP，其中APC=CDP， BPC=PCD运用最常见 证明：如图3，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。 （3）典型用法，如图4，①∠APC=∠PBC,②△APC∽△ABP,③PA²=AC·AB（切割线定理）; (4)弦切角定理多为切割线定理中的相似提供等角的条件，故此处不安排练习题。 【范例详解】 例.【阅读资料】我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示， 同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心时，且AB切⊙O于点A,此时弦切角∠CAB=∠P(图2) 证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P (1)【问题拓展】若AC不经过圆心O(如图3)，该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由 (2)【知识运用】如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D,与A、c分别相交于E、F.求证：EF//BC 【解析】(1)“解题思路的延续性”（复制粘贴、略作修改）：原题给出弦切角的证明步骤过程，作用一是材料的完整 说明；但别忽视了它的另一个隐含作用：启发下面小题的分析思路：把图2复制在图3上（即添辅助线:过点A作 直径AC`，连接PC`），如图3-1，由题可知∠C`AB=∠C`PA,∵,∴∠C`AC=∠C`PC, ∴∠C`AB-∠C`AC=∠C`PA-∠C`PC,即∠CAB=∠P. (2)“解题思路的延续性”：用(1)中的弦切角定理与圆周角定理解题，原题没有弦切角，故需添辅助线构造：连接DE，则由(1)可知∠EDB=∠BAD，∵∠BAD=∠FAD,∴∠EDB=∠FAD, ∵,∴∠FAD=∠DEF, ∴∠EDB=∠DEF,∴EF//BC. 【典型练习】 1.如图线段PB经过圆心O，PD与⊙O相切于点D，C是上一点，∠PDA=20°,则∠C=______ ☆圆幂定理之切割线定理☆ 【知识梳理】 1.切割线定理：如图1，⊙O中，PM切⊙O于M，割线PB交⊙O于A，则PM2＝PA·PB 证明：如图1-1，连结MA、MB，则∠PMA=∠B（弦切角等于同弧圆周角），∴所以△PMA∽△PBM， ∴PM2＝PA·PB 2.切割线定理推论：如图2，PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C，则PA·PB＝PC·PD 证明：如图2-1，过P作PM切⊙O于M，用两次切割线定理 【范例详解】 例【复习巩固】 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 【阅读材料】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点，________． 求证：________． 证明： 【解析】（已知：如图，A是⊙O外一点，）AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线． 求证：AB2＝AC•AD． 故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD， 证明：连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵AB是⊙O的切线，则∠ABC+∠CBE＝90°， ∵BE是圆的直径，故∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE，∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC•AD． 【典型练习】 1.如图，直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的