九 切线定理及应用题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

九 切线定理及应用题型 【知识梳理】 一.切线定理 （1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 概括：“知二推一”,如图 （2）有切线时，常作辅助线是连接圆心和切点，利用垂直关系解题 二.切线的判定 （1）三条判定：①定义判别：直线与圆只有一个交点； ②有切点时：过切点的半径+垂直=切线； ③无切点时：到圆心的距离等于半径的直线是切线； （2）两种添辅助线方法 ①若已知直线经过圆上一点：连半径，证垂直；②若不知直线与圆有无交点：作垂直，算距离； 【范例详解】 例1.(定义判别法)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2,则线段BC的长为_______ 【解析】由条件“以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E”，依切线的定义可判别AC是⊙O的切线，故连接OE，可得OE⊥AC，则，，解得BC= 例2.(有切点，连半径证垂直)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【解析】（1）数学典型模型“角平分线(AC平分∠DAB)+等腰△(△AOC)=平行线(OC//AD)”可得OC⊥DE. 证明：如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线； （2）找等角的三角函数值，即cos∠DAB＝cos∠COE，在Rt△OCE中,利用条件“AE=4BE”即可解答； 解：∵AE＝4BE，OA＝OB，设BE＝x，则AB＝3x，∴OC＝OB＝1.5x，∵AD∥OC，∴∠COE＝∠DAB， ∴cos∠DAB＝cos∠COE＝； （3）相似典型题型“线段比问题”，找所在三角形△AHF∽△ACE(标注已知条件在图上，便可快速找到) 解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，∴EC＝＝＝2x，∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°，∴∠AFG+∠FAG＝90°，∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，∴∠E＝∠AFH，∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE，∴． 例3.(无切点，作垂直证半径)如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，求证：CD与⊙O相切. 【解析】求证CD是切线，但题目图形并未标注切点字母，属于不知切点题型，依“未知切点，作垂直证半径”，故作ON⊥CD于点N，只需证明ON是半径即可，利用BC是⊙O切线及切线定理的“知二推一”便可证明； 证明：作ON⊥CD于点N，连接OM，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴CA是∠BCD的角平分线，∴ON=OM，∵ON⊥CD，∴CD与⊙O相切. 例4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接OF交AD于点G. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BE=8，sinB=，求DG的长. 【思路分析】 （1）已知切点求证切线，连半径，是这类题的通用的解题方法；连接OD，就出现了一个数学典型模型：“等腰+角平分线=平行线”：△OAD是等腰三角形，AD是角平分线，易证OD//AC，即可得出结论。这是结合题目条件的暗示信息与解题经验得到的快速分析结果。 （2）求两条线段的关系，即是求两个变量间函数关系，在初三综合题中，多用相似知识来寻找两条线段的函数关系。这条解题经验暗示我们：找两个三角形相似，这两个三角形中包含有边AB、AF、AD，简单题，这样的三角形题目图形中直接就有或添条辅助线直接能构造出来，较难题，需要通过等量代换或二次相似才能找到，判别的依据来自于图感：这三条线段所在的三角形可不可能相似，这一点，对于有一点练习积累量的学生，是一眼就能看出来的。如此题，只需连接DF，图感告诉我们：AB、AD所在△ABD与AD、AF所在△ADF相似的可能性很高。故解决第（2）小题，只需证明△ABD∽△ADF即可； （3）单纯得分析此小题，已知条件与所求结论的图形位置相差太远，且看不出它们之间的图形联系，很有难度。但解题经验告诉我们：题目安排第（2）小题-----用AB、