七 圆周角与直径关系题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

七 圆周角与直径关系题型 【知识梳理】 1.直径所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径; 即：BC是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC是直径； 2.注意： (1)熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角； ②若没有直径的，作直径、延长半径成直径； (2)拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【范例详解】 例1.(直接用)如图，内接于，CD是的直径，∠ACD＝40°，则∠B=______ 【解析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，利用圆周角定理继而求得∠B的度数． 解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°． 例2．(补圆周角)如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A=______ 【解析】连接CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，而∠DBC＝33°，∴∠D＝90°﹣33°＝57°， ∴∠A＝∠D＝57°． 例3.(补直径)如图，点A，B，C，D在上，，则的长为______ 【解析】“直角所对的弦是直径”，连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出． 解：连接，，， 为的直径，，， 在中,，. 例4.(补直径和圆周角)如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是_______ 【解析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 解：作直径AD，连接CD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=． 【典型练习】 1．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝______ 2.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为_____ 3.如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____． 4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于_______ 5．如图，点A，B，C，D在圆O，AC是圆O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为_______ 6．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上（除A、B外）一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝8，BC＝6，则BD的长为________． 7．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ACD＝33°，则∠BAD的度数为______ 8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为________． 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________． 10.如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为____ 11.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是_____ 12．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB=8,则FC的长是______ 13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为 ． 14.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______． 15.如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是______ 16.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=28°，则∠D=______° 17.如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数 是______ 18.如图，是的外接圆的直径，若，则______． 19.如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为_______ 20.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ．