六 圆周角与垂径定理关系题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

六 圆周角与垂径定理关系题型 【知识梳理】 1.圆周角与垂径定理关系 2.熟悉圆周角与垂径定理关系的两个辅助线图 【范例详解】 例1.如图，在⊙O中，CD是⊙O的一条弦，直线AB⊥CD，连接AC、OD，∠D=40˚，则∠A的度数是_______ 【解析】连接OC，∵∠D=40˚，∴∠DOB=50˚，由AB⊥CD及垂径定理的“知二推三”可得∠CAB=∠DAB、∠COB=∠DOB=50 ˚,由圆周角定理可得∠COB=2∠CAB,∴∠CAB=25˚;(若熟悉垂径定理与圆周角关系的图形，可直接得出∠DOB=2∠CAB) 例2．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，D是BC的中点，且∠AOD＝166°，AE，CF分别是BC，AB边 上的高，则∠BCF＝________． 【解析】由于CF是高线，∠BFC=90˚,故求∠BCF的度数只需求∠B的度数，则需要把已知角度往左下角“拉”，由D是BC的中点可得OD⊥BC，连接BO，出现“圆周角与垂径定理的关系图”，则∠BOD=∠BAC=60˚,可得∠OBC＝30°，∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝166°-60°=106°，由OA=OB可得∠ABO（180°﹣∠AOB）＝37°，∴ ∠ABC＝67°，∴∠BCF＝90°-67°＝23°； 【典型练习】 1．如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为_____ 2．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝46°，则∠ADC＝________． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为____ 4.如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______． 5.如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________． 6.在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 7．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝ 100°，则弦CE的长是______ 8.如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______． 9.如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________． 10.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为______ 11.如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度． 12.如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是_________． 13.如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为________ 14.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则的长为　 　（结果保留π）． 15.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为___ 16. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是____ 17.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是______ 18.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为______ 19.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为____ 20.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度． 【参考答案】 1．【解析】∵OA⊥BC，∴，∴∠ADC=∠AOB，∵∠AOB＝70°，∴∠ADC＝35°. 2．【解析】∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝23° 3．【解析】∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°． 4.【解析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可 解：连接OB、OC、作OD⊥AB.∵,∴∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=30°又, ∴∠ABO=45°,在Rt△O