五 圆周角与圆心角关系题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

五 圆周角与圆心角关系题型 【知识梳理】 1.圆周角与圆心角关系：等弧或同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,即：如图，∠BOC=2∠A 2.①熟悉圆周角与圆心角的三个位置关系图 ②熟悉圆周与圆心角的两个辅助线图 【范例详解】 例1．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是________． 【解析】已知条件∠AOB是圆心角，所求结论∠BPC是圆心角，可利用圆心角与圆心角、圆心角与圆周角关系解题。 解：∵，∴∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°， 例2.如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为______ 【解析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案． 解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°， 又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°． 例3．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于________． 【解析】已知条件∠BAC是圆周角，BC是弦，而直径是过圆心的弦，要想拉近位置，必须把BC与过圆心的半径放在某个三角形中，而连接OB、OC，不仅可以达到这个目的，还能利用圆周角定理，把圆周角与圆心角建立起联系。 解：连接OB、OC，如图，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC，∴△OBC为等边三角形， ∴OB＝BC＝6，∴⊙O的直径等于12． 【典型练习】 1.以下说法正确的是(　　　) A.平行四边形的对边相等 B.圆周角等于圆心角的一半 C.分式方程的解为x=2 D.三角形的一个外角等于两个内角的和 2．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是______ 3．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB=_______ 4.学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度，将三角板纸片如图放置，使得顶点C在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于A、B两点，点A、B的刻度数是72°、14°，这样小明就能得到∠C的度数，请你算算∠C的度数是______ 5．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是______ 6.如图，点在上，AB=CD,∠A0B=42˚，则______ 7 如图，、是上的两点，，交于点，则等于_______ 8．如图，已知⊙O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，则∠AOC＝（　　） A．∠BOC B．∠ABC C．2∠BOC D．2∠ABC 9.如图,点D为AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO，以O为圆心,OD长为半径作圆,交AC于另一点E,交AB于点F、G,连接EF.若∠BAC=22°,则∠EFG=______ 10．如图，在⊙O中，，∠AOB＝40°，则∠BDC的度数是______ 11．如图，已知在⊙O中，半径OA＝，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝________度． 12．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0）， 以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是_____ 13．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ． 14.如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为______ 15.在每个小正方形边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是_______ 16.如图，内接于⊙，连接，则_______ 17.如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若∠ABC=22°，则的度数为__ 18.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为_