四 圆周角与圆周角关系题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

四 圆周角与圆周角关系题型 【知识梳理】 1.等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵，∴∠A=∠D；②∵，∴∠B=∠C； 2.特别注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补 即：弦BC所对的圆周角有：∠E、∠A、∠D，其中∠A=∠D，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°） 【范例详解】 例1．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ． 【解析】网格题，利用“同弧所对的圆周角相等”，将所求角转移到格点直角三角形中； 解：由图可得，∠AED=∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴AB=2，AC=1，则tan∠ABC==， ∴tan∠AED=． 例2．如图，在菱形ABCD中，以点C为圆心，CB为半径作，与AB、AD分别交于点E、F，点E、F恰好是的三等分点，连接DE，则∠AED＝________． 【解析】连接BD，如图设∠BDE的度数为x，∵点E、F恰好是的三等分点，依“等弧所对的圆周角相等”，可得∠EBD＝2x，∠BCD＝6x，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣6x）＝90°﹣3x， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，即2x＝90°﹣3x，解得x＝18°， ∴∠AED＝∠EBD+∠BDE＝2x+x＝3x＝54°． 例3.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是______ 【解析】没图的几何题，要注意考虑分类讨论，弦AB所对的圆周角有两个，如图中的∠E和∠F, 由条件“已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5”联想到垂径定理，即OA=10,OD=5, 在Rt△OAD中，由OA=2OD可知∠OAD=30°，则∠AOD=60°，由垂径定理与圆周角关系 可得∠F=∠AOD=60°,由圆内接四边形对角互补可得∠E=120°，∴圆周角的度数是60°或120°． 【典型练习】 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的两个角是对顶角 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 若，则 D. 在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是 2．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结 论中错误的是（ ） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+=；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，是的外接圆，且AB=AC,∠BAC=36°，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是_______ 4.如图，⊙O的弦AB.CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．若AP=8cm,则PC=______cm． 5．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为　 　． 6.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于_____ 7.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（　　） A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD 8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是_______ 9.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是_______ 10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为 ． 11.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝50°，则∠BEC＝130°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确结论的序号是_________ 12.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13.如图，点D是等边三角形ABC外接圆的上一点（与点B，C不重合），BE∥DC交AD于点E． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）求证：△ABE≌△CBD； （3）如果BD=2，CD=1，求△ABC的边长． 14. 如