三 圆心角定理及应用题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

三 圆心角定理及应用题型 【知识梳理】 1.圆心角定理（附：顶点在圆心的角叫圆心角）-----“知一推三”： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（一般指劣弧）、两条弦、对应弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 简记为：等圆心角 等弧 等弦 等弦心距。（知一推三） 例:只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， ①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；③OC=OF；④ 2. 解析注意： ①一个知识点：知一推三； ②一个注意点：在同圆或等圆中(注意在命题识别题中的表述)； ③一条思路线：从等弧的角度思考等边（弦）、等角（圆心角）之间的关系 3.圆心角定理的数学原理：圆是一个中心对称图形； 【范例详解】 例1. 如图，AB为⊙的直径，点C、D、F是的四等分点，已知∠AOE=60°，则∠COF的度数为________ 【解析】由∠AOE=60°可得∠BOE=120°，由点C、D、F是的四等分点及圆心角定理可得∠EOF=∠FOD=∠DOC=∠COG=∠BOE=30°，∴∠COF=2∠BOC=60°. 例2.如图，在⊙O中，若∠1=∠2，AB=6cm,则CD=________cm 【解析】由∠1=∠2可得∠AOB=∠COD,依圆心角定理可得CD=AB=6cm，不再需要通过全等来证AB=CD； 【典型练习】 1.以下说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 函数的自变量取值范围是x≥2 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 直线y=x-5不经过第二象限 2.下列说法中，正确的是( ) A. 等弦所对的优弧相等 B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C. 圆心角相等，所对的弦相等 D. 弦相等，所对的圆心角相等 3.下列命题中，真命题的个数是（　　） ①同位角相等； ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ③长度相等的弧是等弧； ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列命题是真命题的是(　　) A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．顶点在圆内的角是圆心角 5.如图，在⊙O中，,若∠B=50°,则∠A的度数为______ 6.如图，点B、C把分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E=45°，半径OD=1，则图中阴影部分的面积是_______． 7.如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为　　． 8.如图3－4－4，AB是⊙O的直径，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝36°，则下列说法错误的是(　　) A． C是的中点 B． D是的中点 C． E是的中点 D． E是的中点 9.如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离为________． 10.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是______ 11．(1)如图3－4－13，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON，求∠MON的度数； (2)若M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON，则∠MON的度数是________； (3)若M，N分别是⊙O的内接正五边形ABCDE的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON，则∠MON的度数是________； (4)若M，N分别是⊙O的内接正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON，则∠MON的度数是________． 12．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论： ①=；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化； ④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的是　 　（把你认为正确结论的序号都填上）． 13.如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD，连接PA，PA，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= . 14.已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠