二 垂径定理及应用题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

二 垂径定理及应用题型 【知识梳理】 1.垂径定理-----“知二推三” （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴ （4）以下五个条件，知道任意两个条件都可以推出其他三个结论 ①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧． （知二推三） 2.注意：①一个知识点：知二推三； ②一个注意点：平分弦+直径=垂直弦时，弦不能是直径；（特别在命题识别题中） ③一条思路线：盯住Rt△(由“半径+弦的一半+弦心距”组成)，缺线补线，缺数设 3.垂径定理的数学原理：圆是一个轴对称图形； 【范例详解】 例1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为_______ 【解析】盯住“半径OC+弧的一半CE+弦心距OE组成的Rt△”:∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴CE=CD=12,∠OEC=90°,OC==13，∴． 例2.(补Rt△)如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为________． 【解析】∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝AB＝6，∵BP：AP＝1：5，∴BP＝AB＝×12＝2， ∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4，连接OC，∵CD⊥AB，∴CD＝2PC，∠OPC＝90°， ∴PC＝＝＝2，∴CD＝2PC＝4． 例3．(补Rt△)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为________cm． 【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2 即：（4﹣x）2+22＝x2,解得：x＝2.5 例4.(补Rt△)如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则 ⊙O的半径长为________． 【解析】连接BC，作OH⊥BC于H，则CH＝BH，在Rt△ACB中，BC＝＝， ∴CH＝BC＝，∵∠OCH＝∠BCA，∴Rt△COH∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得，OC＝3.4． 例5.如图，已知∠P=45°，角的一边与⊙O相切于点A，另一边与⊙O交于B、C两点，⊙O的半径为，AC=2，则AB=___ 【解析】如图所示，依切线定理可知，连接OA并延长交⊙O于点D，交BC于点E，则DA⊥AP，由∠P=45°可得∠AEP=45°，过点D作DF//BC，则∠D=∠AEP=45°,连接AF，则∠F=90°,△ADF是等腰直角三角形，则AF=OA=2,依圆内接四边形对角互补性质可得∠ACF=135°，作AG⊥FC交FC的延长线于点G，则△AGC为等腰直角三角形，则AG=CG=2，则FG==4,则FC=FG-CG=2，∵DF//BC，依平行弦所夹的弧相等可得,依圆心角定理可得CF=BD=2，则在Rt△ABD中，AB==6. 【典型练习】 1．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（　　） A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在 2．下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆心角相等，所对的弦也相等 3.下列说法：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧；正确结论的序号是_________ 4．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，BD=___． 5.点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为_____ 6.若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为______ 7.如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是_____ 8.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝k