一 等腰三角形与应用题型-2023-2024学年人教版九年级上学期数学圆的性质与定理典型题型解读综合练习

一 等腰三角形与应用题型 【知识梳理】 1.如图，由OA=OB可知△OAB是等腰三角形 2.【用法】 ①若∠AOB=60˚，则△OAB是等边三角形,与等边三角形性质相联系；若∠AOB=90˚，则△OAB是等腰直角三角形，与等腰直角三角形性质相联系； ②∠A=∠B，它们所对应的弦、弧、圆周角必定会相等，与圆周角定理相联系； ③若OC⊥AB，结合等腰三角形“三线合一”性质，与勾股定理、垂径定理相联系,如图1； ④如图2，若出现平行线或角平分线，与几何典型模型“角平分线+平行线=等腰△”相联系，如图2，△OAB是等腰三角形、OC//AB、OC平分∠BOD这三个条件任意出现两个，则第三个条件必成立； 3.【提醒】半径是圆中最常见的线段，故解题时很有可能会运用由两条半径组成的等腰三角形，它可以往外延伸联系很多性质定理，往往是思考分析的引子，之所以把它提升到垂径定理等一般高度，除了它的重要性外，更主要的原因是，它是题目不会提及的隐藏已知条件，在具体实践中，发现很容易被大家忽视。所以审图时，要特别留意； 【范例详解】 例.如图，、是的半径，点C在上，∠AOB=30˚，∠OBC=40˚，则∠OAC=_______ 【解析】∠OBC、∠OAB是圆周角、∠AOB是圆心角，可利用两条半径组成的等腰三角形及三角形内角和定理来建立起数量关系，连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-40°×2=100°，∴∠AOC=100°+30°=130°， ∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=25°， 例2.如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，∠AOB=120˚，小强从走到，走便民路比走观赏路少走_______米. 【解析】思路过程：“等腰三角形---三线合一性质---垂径定理----半径与圆心角----弧长”． 解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9， AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走观赏路少走米， 【典型练习】 1.如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是_______ 2．如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为________． 3．如图∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝4，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE＝____ 4．如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交 线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 度． 5.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若∠OAB=28°，，则的度数为______ 6.如图，在中，，以为直径的交边于D，E两点，，则的长是____________． 7.如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30°,则点O到CD的距离OE=______. 8.如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝ 度． 9.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=______度． 10.如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为______ 11.如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是____ 12.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=______ 13.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于___ 14.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，下列结论正确的是（　　） A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB 15.如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为　　． 16.如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折 叠，点C的对应点E落在BD上． （1）求证：AE=AB． （2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长． 17.如图，半径为6的⊙O与Rt△A