第十七章 勾股定理 考前复习笔记-【教材解读】2023春八年级下册初二数学（人教版)

数学　八年级　下册 ５２　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 方法专题:用勾股定理求解最小(短)距离的几种方法 １．平面图形上的最小距离 首先要画出适当的示意图,将其抽象为 数学问题,并构造直角三角形,再运用 勾股定理解决问题． 目的:构造直角三角形;将分散的条件 通过几何变换集中到一起,借助勾股定 第十七章　勾股定理 ５３　 0   0 理解决问题． 【例１】如图,在△ABC 中,AC＝BC＝４, ∠ACB＝９０°,D 是BC 边的中点,E 是 AB 边上一动点,则EC＋ED 的最小 值是　　　　． A C D B E 思路分析 知条件　AC＝BC＝４,∠ACB＝９０°, D 为BC 中 点,E 是AB 边 上一动点． 明方法　过点C 作CO⊥AB 于点O, 延 长 CO 到 C′,使 OC′＝ OC,连 接 DC′,交 AB 于 点 E,连 接 CE,BC′．首 先 确 定 DC′＝DE＋EC′＝DE＋CE 的值最小,然后根据勾股定 理计算． 解析 如图,过点C 作CO⊥AB 于点O, 延长CO 到点C′,使 OC′＝OC,连接 DC′,交AB 于点E,连接CE,BC′． 此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值 最小． O C′A C D B E 由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝４５°, 所以∠CBC′＝９０°, 所以BC′⊥BC,∠BCC′＝∠BC′C＝４５°, 所以BC′＝BC＝４． 因为D 是BC 边的中点,所以BD＝２． 根据勾股定理可得, DC′ ＝ BC′２＋BD２ ＝ ４２＋２２ ＝ ２５, 故EC＋ED 的最小值是２５． 答案２５ ２．立体图形上的最短距离 求立体图形中的最短路径问题,一般步 骤如下: 将立体图形展开成平面图形→确定相 关点的位置→连接相关点构造直角三 角形→根据勾股定理求解． (１)圆柱中的最短距离 B A 【例２】某地新建造一个大型购 物超市,现需装饰一根高为 ９m,底面半径为 ２ π m 的圆 柱．如图(示意图),A,B 分别 是圆柱两底面圆周上的点, 且在同一母线上．用一根彩 带(宽度不计)从点A 顺着圆 柱侧面绕３圈到点B,那么这根彩带的 长度最短是多少? 思路分析 知条件　圆柱高为９m,底面半径为 ２ πm , A,B 分别是圆柱两底面圆周 上的点,且在同一母线上,从 点A 顺着圆柱侧面绕３圈到 点B． 明方法　将圆柱体侧面展开,然后利 用两点之间线段最短解答． 数学　八年级　下册 ５４　 解 圆柱体的侧面展开图的示意图如图 所示． D B A C 用一根彩带从点 A 顺着圆柱侧面绕 ３圈到点B 的最短长度是AC→CD→ DB,即在圆柱体的侧面展开图长方形 中,将长方形平均分成３个小长方形, 点A 沿着３个长方形的对角线运动到 点B 的路线最短． 因为圆柱的底面半径为 ２ π m , 所以大长方形的宽即是圆柱体的底面 周长＝２π× ２ π＝４ (m)． 因为圆柱的高为９m, 所以小长方形的一条边长是３m． 根据勾股定理可得,AC＝CD＝DB＝５m, 所以AC＋CD＋DB＝１５m, 所以这根彩带的长度最短是１５m． (２)正方体中的最短距离 A B C D 【例３】一个棱长为１０cm 的正方体盒子如图所 示,现 需 从 底 部 A 点 起,沿盒子的三个表面 到顶部的B 点张贴一条彩色纸带(纸 带的宽度忽略不计),则所需纸带的最 短长度是　　　　cm． 思路分析 知条件　正方体盒子的棱长为１０cm, 从底部 A 点起,沿盒子的三 个表面到顶部的B 点张贴一 条彩色纸带． 明方法　将正方体的三面展开,然后 在平面内利用勾股定理求点 A 和点B 间的线段长,即可 得到纸带的最短长度． 解析 将正方体连着的三面展开如图所 示,根据“两点之间,线段最短”知,线 段AB 的长即为所求． A B 展开 后 由 勾 股 定 理,得 AB２＝１０２＋ (１０＋１０＋１０)２＝１０×１０２, 故AB＝１０ １０cm． 答案１０ １０ (３)长方体中的最短距离 【例４】如 图,一 个 长 方 体 盒 子,BC＝ CD＝８,AB＝４,则沿盒子表面从点A 到点D 的最短路程是　　　　． AB C D 思路分析 知条件　BC＝CD＝８,AB＝４． 明方法　把长方体中含 A,D 两点的 相邻的两个面展开,根据“两 点之间,线段最短”求解． 第十七章　勾股定理 ５５　 0   0 解析 如图①,把前面和左面展开,形成一 个平面,则A,D 两点之间的线段最短． AC B D 8 8 4 图① 即 AD ＝ CD２＋AC２ ＝ ８２＋１２２ ＝ ４ １３． 如图②,把前面和上面展开,形成一个 平面,则A,D 两点之间的线段最短． D B A 8 8 4 图② 即 AD ＝ AB２＋BD