3.2 圆锥 难点体系突破笔记-【教材解读】2023春六年级下册数学（人教版)

 & ７７　 0    练习六、七(教材第３４~３７页) 难点体系 抓不变量解决等积变形的问题 等积变形问题就是形状变了体积不变的问题,解决这类问题的关键就是明确变 形前后的形状以及体积应该怎样计算,然后根据变形前后的体积不变建立等量关系, 列式计算或用方程解答. 【例１】(教材第３７页第１题)把一块长方体钢坯熔铸成一根底面直径为４dm 的圆柱 形钢材,求钢材的长度. 探究过程 这里是把一个长方体熔铸成一个圆柱,熔铸前长方体的体积等于熔铸后圆柱的 体积,因此可以先求出熔铸前长方体的体积,即熔铸后圆柱的体积,再求圆柱的底面 积,进而求出圆柱的高. 规范解答 长方体的体积：１２．５６×５×４＝２５１．２（dm３） 圆柱的底面积：３．１４×（４÷２）２＝１２．５６（dm２） 圆柱的高：２５１．２÷１２．５６＝２０（dm） 答：钢材的长度是２０dm。 上面已经学会了等积变形问题的解题思路,即抓住体积不变,先求体积,再根据 对应图形的体积公式解答问题.除了上述的例题,也有一些较复杂的图形问题,可能 涉及以前学过的知识,需要综合考虑;还有一些隐藏在实际问题中,我们需要仔细观 察、分析题目是由哪种图形转变成哪种图形. 与等积变形有关的实际问题 【例２】一个圆锥形沙堆,底面积是２８．２６m２,高是２．５m.用这堆沙在１０m 宽的公路 上铺２cm 厚的路面,能铺多少米? 探究过程 铺在公路上的沙的形状可以看作长方体,铺路前后沙的体积不变,即长方体的体 积等于圆锥的体积.已知圆锥的底面积和高,可先求出圆锥的体积,再根据长方体的  !  
 ７８　 0    宽和高以及长方体的体积公式求出长方体的长. 规范解答 沙堆的体积： １ ３ ×２８．２６×２．５＝２３．５５（m３） ２cm＝０．０２m 铺的长度：２３．５５÷（１０×０．０２）＝１１７．７５（m） 答：能铺１１７．７５m。 部分变形的实际问题 【例３】(教材第３５页第１０题)用底面半径和高分别是６cm、１２cm的 空心圆锥和空心圆柱各一个,组成竖放的容器(如右图).在这个容器 内注入一些细沙,能填满圆锥,还填了部分圆柱,圆柱部分的细沙高 ２cm.若将这个容器上面封住并倒立,细沙的高度是多少厘米? 探究过程 圆柱部分的细沙倒立后形状不变,高度不变,圆锥部分的细沙倒立后 变为等底的圆柱. 　　思路一:根据圆锥的体积计算公式,即V圆锥 ＝ １ ３πr ２h,计算圆锥部分细沙的体积, 再除以圆柱的底面积,就是这部分细沙倒立后的高度,再加上圆柱部分的细沙高度即 可求解. 　　思路二:根据倒立前后圆锥和圆柱的底面积相等,探究它们的高之间的关系: V圆柱 ＝S圆柱h圆柱 ,V圆锥 ＝ １ ３S圆锥h圆锥 ⇒ 当 V圆柱 ＝V圆锥 ,且 S圆柱 ＝S圆锥 时,h圆柱 ＝ １ ３h圆锥 ,从而不求体积直接计算圆锥部分的细沙倒立后的高度,再加上圆柱部分的细 沙高度即可求解. 规范解答 方法一：圆锥部分的细沙的体积：３．１４×６２×１２× １ ３ ＝４５２．１６（cm３） 圆锥部分的细沙倒立后的高度：４５２．１６÷（３．１４×６２）＝４（cm） 　　　　４＋２＝６（cm） 方法二：１２× １ ３＋２ ＝６（cm） 答：细沙的高度是６cm。 　　解决等积变形问题的关键就是理解等积变形前后物体的体积不变.抓 住体积不变,先求不变的体积,再根据对应图形的体积公式计算要求的量.