第19讲 导数的概念及其运算-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第19讲 导数的概念及其运算 1. 导数的几何意义 (1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ ． (2) 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为　 　. 2. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α是实数) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f(x)＝lnx f(x)＝logax(a＞0，a≠1) 3. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则： (1) [f(x)±g(x)]′＝　 ； (2) [f(x)·g(x)]′＝　 ； (3) ′＝ (g(x)≠0)． 4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝　 　. 5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　 　; 设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的　 　. 1、【2022年新高考1卷】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 2、【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 3、【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________． 4、【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 5、【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 6、【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 1、下列求导结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2、若，则（ ） A． B． C． D． 3、(2022·珠海高三期末)若函数f(x)＝ln x＋的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则a＝________． 4、函数y＝x sin x－cos x的导数为______________________． 5、（2022·福建·莆田二中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 6、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 考向一　基本函数的导数 例1、求下列函数的导数. (1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋； (3)y＝；(4)y＝xsincos. 变式1　已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数　　. 变式2　求下列函数的导数： (1) f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x； (2) f(x)＝ln. 变式3、求下列函数的导数： (1) f(x)＝x3＋x sin x； (2) f(x)＝x ln x＋2x; (3) f(x)＝excos x； (4) f(x)＝. 方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 考向二 求导数的切线方程 例2、（1）（2022·河北衡水中学一模）已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______． （2）（2022·福建·三模）已知是定义在上的函数，且函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（       ） A． B． C． D． 变式1、　(1) 若函数f(x)＝2的图象在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，求该切线的方程； (2) 求过点P(2，5)与曲线f(x)＝x3－x＋3相切的直线方程； (3) 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值． 变式2、（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ） A． B． C． D． 方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． (3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(