第02讲 相交平面（3种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第02讲 相交平面（3种题型） 【知识梳理】 一、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 二、三个公理的作用 公理1——判定直线在平面内的依据； 公理2——判定点共面、线共面的依据； 公理3——判定点共线、线共点的依据。 三、点共线与线共点的证明方法 （1）点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上； （2）三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 【考点剖析】 题型一、画平面与平面的交线 一、单选题 1．下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．看图填空： （1）直线直线___________. （2）平面平面___________. （3）平面平面___________. （4）平面平面___________. （5）平面平面平面___________. （6）直线直线直线___________. 三、解答题 3．用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 4．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 5.如图，在长方体中， 找出下列各对平面的交线： （1）平面与平面 （2）平面与平面； （3）平面与平面； （4）平面与平面； 6、若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β， 试画出平面ABC与平面α，β的交线. 题型二、公理及其推论的综合应用 1、定义：四个点不同在一个平面内的四边形，称作：空间四边形。如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且，. （1）证明：E，F，G，H四点共面. （2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？ 2、如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点， AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E四点共面； （2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线； 题型三、平面分空间区域的数量 一、单选题 1．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条 2．空间三个平面能把空间分成（    ） A．4部分或6部分 B．7部分或8部分 C．5部分或6部分或7部分 D．4部分或6部分或7部分或8部分 3．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 二、填空题 4．下列命题中，所有正确命题的序号是___________. ①两个相交平面把空间分成4部分. ②有两个角是直角的四边形是平面图形. ③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点. ④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上. 5．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 【过关检测】 一、单选题 1．（2022·上海市虹口高级中学高一期末）下列命题中 ①空间中三个点可以确定一个平面. ②直线和直线外的一点，可以确定一个平面. ③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面. ④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面. ⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合. 真命题的个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条 二、填空题 3．（2021·上海市金山中学高二阶段练习）若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面． 4、设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l. 5、平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________