北京市日坛中学2021-2022学年高二上学期期中数学试卷

2021-2022学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷 一、单选题：（共10小题，每小题4分） 1．（4分）经过A（﹣2，0），B（﹣5，3）两点的直线的斜率是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D． 2．（4分）已知向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（　　） A．， B．∥， C．∥， D．以上都不对 3．（4分）若两条直线ax+2y﹣1＝0与3x﹣6y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 4．（4分）直线y＝x﹣2与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A．2 B． C． D．4 5．（4分）已知两圆分别为圆C1：x2+y2＝49和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，这两圆的位置关系是（　　） A．相离 B．外切 C．内含 D．相交 6．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（　　） A．﹣ B． C．﹣+ D．﹣﹣﹣ 7．（4分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝49相切，则满足条件的直线l有（　　）条 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（4分）唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从A（2，0）出发，河岸线所在直线方程x+y﹣4＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B．2﹣1 C． D．﹣1 二、填空题：（共5小题，每小题5分） 11．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值为 　 　． 12．（5分）已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），则与的数量积为 　 　． 13．（5分）双曲线的渐近线方程是　 　，离心率为　 　． 14．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为　 　，若圆C关于直线l对称，则k＝　 　． 15．（5分）已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成角为α，则sinα的最大值为　 　． 三、解答题：（共85分） 16．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点． （1）求证：BC1∥平面AED1； （2）求点A1到平面AED1的距离； （3）直线AA1与平面AED所成角的正弦值． 18．已知两条直线l1：ax+y+a+1＝0，l2：2x+（a﹣1）y+3＝0． （Ⅰ）求证：直线l1过定点，并求出该定点的坐标； （Ⅱ）若l1，l2不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求|AB|； （Ⅲ）若a＝0，直线l与l2垂直，且___，求直线l的方程． 从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答． 条件①：直线l过坐标原点； 条件②：坐标原点到直线l的距离为1； 条件③：直线l与l1交点的横坐标为2． 19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABO的面积为（O为坐标原点），求直线l的方程． 20．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，AB的中点，且PA＝AB＝2AD． （1）求证：MN⊥CD； （2）平面PAB和平面MAB所成角的余弦值； （3）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点G的位置． 21．椭圆x2+＝1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于两点E，F，交椭圆于两点C，D． （Ⅰ）若＝，求直线l的方程； （Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2＝2：1，求k的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份