专题13 角平分线的性质与判定-【一遍过】2023年暑假七年级升八年级数学考点衔接一遍过（人教版）

专题13 角平分线的性质与判定 新知预习 （一）角平分线的性质 （1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB （二）角平分线的判定 （1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 新知训练 考点1：角平分线的性质 典例1：（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，平分．求证： (1)平分； (2)． 【变式1】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和． 【变式2】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）如图，已知：的、的外角平分线交于点．求证：是的平分线． 【变式3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，已知，平分；求证： (1)； (2)． 考点2：角平分线的判定 典例2：（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在和中，，，． (1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【变式1】（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，于点E，于点F，且，． (1)求证：AC平分 (2)猜想与之间的数量关系并证明； 【变式3】（2022秋·安徽铜陵·八年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，已知和中，B，C，E在同一条直线上，，，，，与交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 考点3：角平分线性质的综合应用 典例3：（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． （1）求证：点到三边、、所在直线的距离相等； （2）连接，若，求的度数． 【变式1】（2023秋·河北张家口·八年级校考期末）本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容． （1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等． 角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______． （2）老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整． 已知：如右图，点是内一点，，，垂足分别为、，且______．求证：点在的______上 （3）请你完成证明过程： （4）知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处． 【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，，，，，直线与交于点，与交于点，连接． （）和的大小关系是__________，位置关系是__________；请给出证明． （）求证：平分． 【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点． （1）求证：DE＝DF； （2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积． 考点4：尺规作图——角平分线 典例4：（2022秋·海南海口·八年级统考期末）如图，在中，，是延长线上一点，点是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母保留作图痕迹，不写作法． 作的平分线；连接，并延长交于点； 过点作的垂线，垂足为． (2)猜想与证明：猜想与有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 【变式1】（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程） 【变式2】（2022秋·江苏·八年级统考期末）如图，在中，，D为延长线上一点，E为的中点． (1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写作法）； ①作的平分线；②连接并延长交于点F． (2)猜想与位置和数量的关系，并说明理由． 【变式3】（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）按要求