专题12.1 二次根式的性质与化简（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题12.1 二次根式的性质与化简 【典例1】综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：， ． 由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简，． （1）请你依上述方法将化成一个式子的平方，并直接写出的值． （2）化简：． （3）若且、、均为正整数，则________． 【思路点拨】 （1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把转化为的形式，即可求解； （2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可； （3）计算的平方，与进行对比即可求出a值． 【解题过程】 （1）解：， ． （2）解： ， 同理， ， ． （3）解： 且、、均为正整数， ， ，， 当，或，时，； 当，或，时，； 故答案为：5或7． 1．（2022年广东省第十四届中学生数理化综合实践活动八年级数学应用知识展示试题）（    ）． A．0 B．1 C．2021 D．2022 2．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）使得（0≤x＜125）为整数的整数x的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2021春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（    ） A．2a B．﹣2a C． D． 4．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若，，则的值是（        ） A． B．－2 C．±2 D． 5．（2021秋·八年级单元测试）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 7．（2022春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论： ①； ②对第n个式子进行操作可得； ③前10个式子之和为； ④如果前n个式子之和为，那么． 小明得出的结论中正确的有（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 8．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）无论取何整数，的值都是整数，则的值为______． 9．（2022秋·全国·八年级期中）已知，则的值是_____________． 10．（2021·北京·九年级专题练习）已知，则的最小值为__． 11．（2022秋·全国·八年级专题练习）实数a、b满足，则的最大值为_________． 12．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）设，其中n为正整数，则____． 13．（2021秋·上海·八年级期中）化简 14．（2021秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习）已知满足． （1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得 （2）根据（1）的分析，求的值． 15．（2022秋·全国·八年级专题练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 16．（2022秋·湖南·八年级期末）先阅读下列解答过程： 形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：______； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简：． 17．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如： ， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，      ， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值和最小值． 18．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）． （2）猜想m＝，n＝之间的大小，并证明． （3）化简：＝ （直接写出答案）． 19．（2022·全国·八年级