第五章 计数原理 3.2 组合数及其性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

3.2　组合数及其性质 (教师独具内容) 课程标准：能利用计数原理推导组合数公式． 教学重点：1.组合数的概念.2.组合数公式.3.组合数的性质． 教学难点：用组合数公式分析和解决一些简单的实际问题． 核心素养：1.通过学习组合数的概念，培养数学抽象素养.2.通过应用组合数公式和组合数的性质解决问题，培养逻辑推理素养． 知识点一　组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数，记作C． 知识点二　组合数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数为C＝ ＝ ＝．这个公式叫作组合数公式． 规定：C＝1． 知识点三　组合数的性质 性质1：C＝． 性质2：C＝C＋． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C个积．(　　) (2)若组合C＝C，则x＝m成立．(　　) (3)C＝5×4×3＝60.(　　) (4)将9本不同的书分成三堆，每堆三本是均匀分组问题．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)C＝________． (2)C＋C＝________． (3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法． 答案　(1)190　(2)161700　(3)360 题型一　组合数以及组合数性质的应用 例1　(1)计算：C－CA； (2)已知－＝，求C； (3)求C＋C的值； (4)证明：mC＝nC. [解]　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)原方程可化为－＝， 即－ ＝， 即1－＝， 即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(不符合题意，舍去)． ∴C＝C＝28. (3)∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N＋，∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝＋＝466. (4)证明：mC＝m· ＝ ＝n·＝nC. 感悟提升 (1)像排列数公式一样，公式 C＝一般用于计算；而公式C＝及C＝一般用于证明、解方程(不等式)等． (2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N＋”的运用．如本例(3)． (3)要注意公式A＝CA的逆向运用，如本例(1)中可利用“CA＝A”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“mC＝nC”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握． [跟踪训练1]　(1)求值：C＋C； (2)求证：C＝C； (3)计算：①C＋CC； ②C＋C＋C＋C＋C＋C； ③CC. 解　(1)解得4≤n≤5. 又n∈N＋，所以n＝4或n＝5. 当n＝4时，原式＝C＋C＝5， 当n＝5时，原式＝C＋C＝16. (2)证明：因为C＝， C＝· ＝， 所以C＝C. (3)①原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4950＝5006. ②原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2×＝32. ③原式＝CC＝(n＋1)n＝n2＋n. 题型二　有限制条件的组合问题 例2　男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既有队长，又有女运动员． [解]　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有CC＝120种选法． (2)解法一：(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理，知共有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选派方法． 解法二：(排除法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选派方法有C－C＝246种． (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选派方法共有C＋C－C＝191种． 感悟提升 解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“排除法”，其中用直接法求解时，应依据“特殊对象优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择排除法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键． [跟踪训练2]　有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻