第五章 4.2 二项式系数的性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

4.2　二项式系数的性质 (教师独具内容) 课程标准：会用二项式系数的性质解决与二项展开式有关的简单问题． 教学重点：二项式系数的性质． 教学难点：应用二项式系数的性质解决问题． 核心素养：1.通过学习二项式系数的性质，培养数学抽象素养.2.通过应用二项式系数的性质解决问题，培养逻辑推理及数学运算素养． 知识点一　杨辉三角 上表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角．它有如下的规律： (1)表中每行两端都是1． (2)除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和． 知识点二　二项式系数的性质 在(a＋b)n的展开式中， (1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C. (2)当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的． (3)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． (4)C＋C＋C＋…＋C＝2n． (5)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. 　在求展开式中项的系数时常用赋值法．如－1，0，1等，赋值法体现了函数思想．如：f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (2)在(x＋1)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和不一定相等．(　　) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________． (3)已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________． 答案　(1)6和7　(2)8　(3)1 题型一　二项展开式的系数问题 例1　在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和； (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解]　在(2x－3y)10的展开式中： (1)各项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512. (3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解． 令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.① 令(*)中x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.② 由①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)； 由①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为(1－510)． 感悟提升 求展开式中项的系数的常用方法 “赋值法”是求展开式中项的系数的常用方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． [跟踪训练1]　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解　(1)令x＝0，得a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*) 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 与(2)中(*)式联立相减，得 a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100) ＝[(2－)(2＋)]100＝11