第三章 空间向量与立体几何 2.1-2.2 空间向量与向量运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算 第1课时　空间向量及其加减、数乘运算 (教师独具内容) 课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的加减、数乘运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间几何体中向量的运算． 核心素养：在空间向量概念的形成和加减、数乘运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，提升直观想象、数学抽象及数学运算素养． 知识点一　空间向量的概念 (1)定义 与平面向量类似，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)长度或模 向量的大小叫作向量的长度或模． (3)表示方法 ①空间向量有两种表示法．一种用有向线段来表示．例如，以点A为起点、点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量.点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点．另一种在印刷时用a，b，c，…表示，在书写时用,，，…表示． ②表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示．有向线段的方向表示向量的方向． (4)几类特殊的空间向量 ①相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量． ②自由向量：数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量． ③相反向量：方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用－a表示． ④零向量：规定模为0的向量叫作零向量，记为0.零向量的起点与终点重合，零向量的方向为任意方向． ⑤共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)．相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况． 规定：零向量与任意向量平行． ⑥共面向量 (ⅰ)当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作a∥α．通常，我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量．共线向量是共面向量的一种特例． (ⅱ)空间中，任意两个向量总是共面的，但任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的．能平移到同一平面内的三个向量叫作共面向量． 知识点二　空间向量的加减法 1．空间向量的加法 (1)向量求和的三角形法则 已知空间向量a，b，过空间任意一点A作＝a，＝b，再作向量，如图1.把向量叫作空间向量a，b的和．求空间向量和的运算叫作空间向量的加法．即a＋b＝＋＝． 上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则． (2)向量求和的平行四边形法则 当空间向量a，b不平行时，过空间任意一点O作＝a，＝b(如图2)，这时，O，A，B三点不共线，在平面OAB内，以OA，OB为邻边作▱OACB. 因为＝，所以也有a＋b＝＋＝． 由此可见，平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用． (3)空间向量的加法运算律 ①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ②交换律：a＋b＝b＋a． 2．空间向量的减法 空间向量a，b的差可定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量． 在图3中，a－b＝－＝＋＝＋＝. 在图4中，是的相反向量，所以－＝＋＝＋＝. 知识点三　空间向量的数乘运算 1．空间向量的数乘运算的概念 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量λa的长度和方向满足： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，向量λa与向量a方向相同；当λ<0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0． 对于任意一个非零向量a，当λ＝时，λa＝表示与向量a同方向的单位向量． 2．空间向量的数乘运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 其中λ∈R，μ∈R. 3．共线向量基本定理 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．通常把这个定理称为共线向量基本定理．(也称“一维向量基本定理”) 1．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 2．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(　　) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　) (3)零向量是长度为0，没有方向的向量．(　　) (4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.(　　) 答案　(1)√