第三章 空间向量与立体几何 1.1-1.2 空间直角坐标系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 教学重点：1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.2.空间两点间的距离公式的应用． 教学难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，立体几何坐标化、代数化． 核心素养：1.通过探索根据具体的条件建立空间直角坐标系并写出空间点的坐标，提升直观想象素养.2.通过学习空间两点间的距离公式，提升数学抽象及数学运算素养． 知识点一　空间直角坐标系 (1)如图1，过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (2)一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系(如图2)． 知识点二　点在空间直角坐标系中的坐标 (1)在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z)． (2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． (3)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)． 知识点三　空间两点间的距离公式 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为 |PQ|＝． 这就是空间两点间的距离公式． 1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示 点的位置 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标表示 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 3.中点坐标公式及重心坐标公式 (1)中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为. (2)重心坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为. 4．空间两点间距离的求解 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键． (2)若所给题目中未建立空间直角坐标系，需结合已知条件建立适当的空间直角坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算． (3)空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广．动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)在建立空间直角坐标系时，需有三条两两垂直且相交于一点的直线，x，y，z轴可以随意确定．(　　) (3)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，yOz，zOx两两互相垂直．(　　) (4)在坐标平面xOy内，到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有无数个．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)下面空间直角坐标系中，是右手系的有(　　) A．①③ B．③ C．①② D．①②③ (2)在空间直角坐标系中，P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 (3)已