第二章 圆锥曲线 2.2 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

2.2　双曲线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 核心素养：通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c关系 c2＝a2＋b2 范围 x≤－a或x≥a，且y∈R y≤－a或y≥a，且x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 1．双曲线上的所有点中，到焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 2．双曲线的渐近线及其求法 渐近线是双曲线的特有几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较多，一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得，也可以运用下列方法求得： 将－＝1(a>0，b>0)中的“1”换为“0”即得双曲线的渐近线方程－＝0，即±＝0，即y＝±x. 注意：与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可以设为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)，即“1”换为“λ”． 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　) (2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　) (3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的实轴长为________． (2)已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________． (3)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________． 答案　(1)2　(2)2　(3) 题型一　由双曲线的几何性质求标准方程 例1　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)； (2)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，该椭圆的顶点为焦点． [解]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 依题意可得解得 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)显然，椭圆的焦点在x轴上，即双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知椭圆的焦点坐标为(±，0)，长轴上顶点坐标为(±2，0)， 所以可知双曲线中 a＝，c＝2，b＝＝， 则双曲线的方程为－＝1. 感悟提升 求双曲线的标准方程的方法 (1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆． (2)设双曲线方程的方法与技巧 ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)； ②如果不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n； ③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． 提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键：设出双曲线的标准方程，然后根据已知条件，列出关于参数a，b，c或m，n的方程并求出a，b，c或m，n的值． [跟踪训练1]　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为4，与双曲线－＝1共焦点； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分． 解　(1)设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意知，解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12， 即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定， 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 题型二　双曲线的几何性质 例2　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出草图． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(