第二章 圆锥曲线 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019））

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握直线与圆锥曲线相交时弦长的计算.2.能用坐标法解决直线与圆锥曲线的综合问题． 教学重点：直线与圆锥曲线相交时弦长、定点(定值)、最值(范围)等问题． 教学难点：直线与圆锥曲线的综合问题． 核心素养：通过学习直线与圆锥曲线的综合问题，提升数学运算及逻辑推理素养． 知识点　直线与圆锥曲线相交的弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2| ＝. 1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦． 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 通径长度 2p 2.圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表： 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－ 双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝ 抛物线：y2＝2px(p>0) k＝ 其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标． 题型一　弦长及中点弦问题 例1　已知过定点P(0，1)的直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|； (2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程． [解]　(1)由题意知，直线l的方程为y＝x＋1， 联立方程组 消去y得3x2－2x－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. |AB|＝ ＝＝. (2)解法一：设M(x，y)，由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋1. 由 消去y得(4－k2)x2－2kx－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴4－k2≠0， Δ＝(－2k)2－4×(－5)(4－k2)>0， 即－<k<且k≠±2. x1＋x2＝，y1＋y2＝. ∵M为AB的中点， ∴ 由①②消去k得4x2－y2＋y＝0， ∵－<k<，∴<－4或≥1. ∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)． 解法二：设中点M的坐标为(x，y)， 弦AB端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)． 则即 又A，B两点在双曲线上， ∴ 由①－②得4(x－x)＝y－y， ∴4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)． ∵x1≠x2， ∴＝＝＝， 即kAB＝， 又P，M两点在直线l上， ∴kAB＝kPM＝. ∴＝，即4x2－y2＋y＝0. 由解法一知y的取值范围为y<－4或y≥1， ∴点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)． 感悟提升 1．弦长公式 直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交所得的弦长d＝|x1－x2|＝|y1－y2|.在运用弦长公式时，注意根与系数关系的应用． 2．“中点弦”问题的两种解题策略 (1)点差法：将两个交点的坐标代入圆锥曲线的方程，作差由k＝求斜率，再由点斜式求解． (2)传统法：设直线方程，并与圆锥曲线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率． [跟踪训练1]　(1)已知一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线2x－y－4＝0所截得的弦长为3，求抛物线的方程． 解　依题意，设抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)． 将y＝2x－4代入整理， 得4x2－(16＋a)x＋16＝0. 设此方程的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝，x1x2＝4. 又抛物线被直线所截得的弦长为3， 则(3)2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝5， 整理得a2＋32a－144＝0， 解得a＝4或a＝－36. 故所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x. (2)过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦AB，使弦AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程． 解　解法一：由题意可知，所求直线的斜率一定存在． 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0　(*)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根，于是x1＋x2＝， 又M为AB的中点， ∴＝＝2，解得k＝－. ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)， ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，① x＋4y＝16，② ①－②，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. ∴所求直线的方程