第一章 直线与圆 1.5 两条直线的交点坐标-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019） ）

1.5　两条直线的交点坐标 (教师独具内容) 课程标准：能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标． 教学难点：两直线相交与二元一次方程组的关系． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养． 知识点　直线的交点与直线的方程组解的关系 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 2.两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 1．过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 2．对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由 得出．对称点坐标x2＝x1－2A·，y2＝y1－2B·. ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出l2的方程． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．(　　) (2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的交点为M，则点M的集合表示为(　　) A．{(1，1)} B．1 C．{1} D．{1，1} (2)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a＋b＝________． 答案　(1)A　(2)－2 题型一　直线的交点问题 例1　判定下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2. [解]　(1)∵k1＝2，k2＝－2， ∴k1≠k2，∴l1，l2相交． 解方程组得 ∴两直线的交点坐标为. (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：x－3y＋2＝0， ∵＝＝，∴l1与l2重合． (3)解法一：∵k1＝1－， k2＝－＝－(－1)＝1－， ∴k1＝k2. 又b1＝3≠b2＝，∴l1∥l2. 解法二：解方程组 由①得y＝3－(－1)x代入②得 x＋(＋1)[3－(－1)x]＝2， 整理，得3(＋1)＝2不成立， ∴方程组无解，∴l1∥l2. 感悟提升 1．求两直线交点的步骤 (1)写出由两条直线的方程所组成的方程组； (2)解方程组求出方程组的解； (3)写出两条直线的交点坐标． 2．求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； (2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷． [跟踪训练1]　已知直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点为P.求： (1)点P的坐标； (2)过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程； (3)过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程． 解　(1)由解得 所以点P的坐标是(－2，2)． (2)因为所求直线与l3平行， 所以可设所求直线的方程为x－2y＋m＝0(m≠－1)． 把点P的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m＝0，解得m＝6. 故所求直线的方程为x－2y＋6＝0. (3)因为所求直线与l3垂直， 所以可设所求直线的方程为2x＋y＋n＝0. 把点P的坐标代入上述方程，得2×(－2)＋2＋n＝0，解得n＝2， 故所求直线的方程为2x＋y＋2＝0. 题型二　过定点的直线系问题 例2　求证：不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． [证明]　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝时，直线方程为x＝9.