第01讲 空间的点、直线与平面（2大题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第01讲 空间的点、直线与平面 【知识梳理】 一、平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 二、平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 三．平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 四．点、直线、平面之间位置关系 五、公理 １　 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 六、公理 ２　 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 七、根据公理 ２ 可以得到下面的三个推论 ： （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 【考点剖析】 题型1：三种语言的转换 学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能． 要注意：（1）正确区分点、直线、平面之间位置关系的符号表示； （2）用图形表示时，正确区别实线和虚线． 【典例1】如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系： ①点，在直线上________；②直线在平面内________；③点在直线上，点在平面内________. 【典例2】用符号表示下列语句： (1)点A在直线l上，l在平面内； (2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内； (3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外； (4)直线l经过平面外一点M． 题型2:点、线共面问题 公理1、2及其推论是证明点、线共面的主要依据．常用的方法有： （1）纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其他的元素也在此平面内． （2）辅助平面法：先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明，重合． 【典例3】下面三条直线一定共面的是（　　） A．a，b，c两两平行 B．a，b，c两两相交 C．a∥b，c与a，b均相交 D．a，b，c两两垂直 【典例4】如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由. （1）由点A，O，C可以确定一个平面； （2）由点A，，确定的平面为平面. 【典例5】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证： （1）、、、四点共面； （2）与的交点在直线上． 【典例6】求证：两两相交且交点不止一个的四条直线a、b、c、d共面． 【过关检测】 一、判断题 1、判断下列命题的真假(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）三点可以确定一个平面；（ ） （2）一条直线和一个点可以确定一个平面；（ ） （3）四边形是平面图形；（ ） （4）两条相交直线可以确定一个平面；（ ） 2、判断下列各题的说法正确与否： （1）一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) （2）平面有边界； ( ) 二、单选题 3、有以下命题： ①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是50 m，宽是20 m； ③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念． 其中正确命题的个数为(　　) A．0　 B．1 C．2 D．3 4.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（ ） A．黑板面　 B．乒乓球桌面 C．篮球的表面 D．平静的水面 5、若点A在直线b