第五章 计数原理 4.2 二项式系数的性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（北师大版2019）

第五章 计数原理 4 二项式问题 4.2　二项式系数的性质 (教师独具内容) 课程标准：会用二项式系数的性质解决与二项展开式有关的简单问题． 教学重点：二项式系数的性质． 教学难点：应用二项式系数的性质解决问题． 核心素养：1.通过学习二项式系数的性质，培养数学抽象素养.2.通过应用二项式系数的性质解决问题，培养逻辑推理及数学运算素养． 核心概念掌握 1 和 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 2n 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 在求展开式中项的系数时常用赋值法．如－1，0，1等，赋值法体现了函数思想．如：f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 × × × 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 6和7 8 1 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心素养形成 题型一　二项展开式的系数问题 例1　在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和； (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 感悟提升 求展开式中项的系数的常用方法 “赋值法”是求展开式中项的系数的常用方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 题型二　杨辉三角的有关问题 例2　杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a＋b)n(此处n＝0，1，2，3，4，5，…)的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩上”的两个数之和． (a＋b)0＝11　　　　　 (a＋b)1＝a＋b 1　1　　　　 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 1　2　1　　　 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 1　3　3　1　 　 (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 1　4　6　4 　1 　 (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 1　5　10　10　5　1 …… 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 (1)直接写出(a＋b)6的计算结果中a2b4项的系数是________； (2)利用上述规律直接写出27＝________； 杨辉三角还有另一个特征： (3)从第二行到第五行，每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与________的积； (4)由此你可以写出115＝________； (5)由第________行可写出118＝________． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 [解析]　 (1)(a＋b)6的计算结果中a2b4项的系数是15. (2)27＝128. (3)从第二行到第五行，每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与11的积． (4)115＝161051. (5)∵118＝(10＋1)8＝108＋8×107×1＋28×106×12＋56×105×13＋70×104×14＋56×103×15＋28×102×16＋8×10×17＋18＝214358881， ∴由第9行可写出118＝214358881. [答案]　(1)15　(2)128　(3)11 (4)161051　(5)9　214358881 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 感悟提升 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 [跟踪训练2]　(1)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张由二项展开式的二项式系数构成的三角形数阵(如图所示)，称作“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早