甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2023届高三第八次阶段考试数学理科试题

兰化一中2023届高三第八次阶段考试 高三数学（理） （命题人：高三数学组 2023年5月） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若复数满足为纯虚数，则（ ） A B. C. D. 2 3. 校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下： 中位数 评价 优秀 良好 合格 不合格 2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ） A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 不合格 4. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 函数且的图象是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. 28 D. 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知A，B，C是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值是，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 11. 在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（ ） A. B. 10 C. D. 12 12. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 抛物线的焦点坐标是_______． 14. 已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则______． 15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______． 16. 函数在内有极小值，则的一个可能取值为______． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 记为等差数列前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18. 某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． （1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性； （2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由． 参考数据：． 19. 如图，已知菱形中，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面. （1）求的值； （2）求二面角的余弦值. 20. 已知椭圆的左顶点，点是椭圆上关于原点对称的两个动点（点不与点重合），面积的最大值是2. （1）求椭圆的方程. （2）若直线与轴分别相交于点，是否存在定点，总有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 21. 已知函数. （1