上海市奉贤中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题

奉贤中学高一月考数学试卷 2023.05 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 复数的虚部为_____________． 2. 在复数集中因式分解_________ 3. 如图，在正方体中，异面直线和DC所成角大小为_________ 4. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是________． 5. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是______． 6. 已知，，且与平行，则______________ 7. 在正方体中，M、N分别是棱、的中点，则以下结论： ①直线AM与直线相交； ②直线AM与直线BN平行； ③直线AM与直线异面； ④直线BN与直线异面． 正确的编号有______________ 8. 设的共轭复数是,若,,则等于__________. 9. 在直角坐标系中，的顶点，，，且的重心的坐标为，__________. 10. 在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为，，．虚数是实系数一元二次方程的一个根，且∠A是锐角，则b的取值范围是______________ 11. 已知关于x的方程有实数根，则复数z的模的最小值为______________ 12. 如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 14. 如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 六边形 B. 正方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 三角形 16. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ） A. 若，则O为△ABC的重心 B 若，则 C. 则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D 若，，，则 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且满足． （1）求证：AB和PC是异面直线； （2）求直线PC和平面ABCD所成角． 18. 已知复数 （1）若，求角； （2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围. 19. 已知关于z的方程． （1）在复数域范围内求该方程的解集； （2）已知该方程虚根分别为、，若z满足，求的最小值． 20. 已知四棱锥P-ABCD底面为直角梯形，，，PA⊥平面ABCD，且，M是棱PB上的动点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若，求点M到平面ABCD的距离； （3）当M是PB中点时，设平面ADM与棱PC交于点N，求的值及截面ADNM的面积． 21. 若定义域为一切实数的函数满足：对于任意，都有，则称函数为“启迪”函数． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否是“启迪”函数，并说明理由； （2）设函数的表达式是，判断是否存在以及，使得函数成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由； （3）设函数是“启迪”函数，且在上的值域恰好为，以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且只有一个零点，求． 奉贤中学高一月考数学试卷 2023.05 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】-1 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】45°## 【4题答案】 【答案】12 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】③④ 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）或；（2）. 【19题答案】 【答案】（1） （