第四章 课时作业(25) 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(二十五)　正弦定理、余弦定理及应用举例 [基础保分练] 1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且角B与D互补，则AC的长为(　　) A．7 km　　 B．8 km　　 C．9 km　　 D．6 km A　解析：在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos (π－D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos D，解得cos D＝－，所以AC＝＝7. 2．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A． B． C． D． A　解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3.又由余弦定理可知cos B＝＝＝. 3．(2023·北京西城模拟)在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　) A． B． C．6 D．5 B　解析：因为sin A＝6sin B，由正弦定理可得a＝6b， 又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°， 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝62＋12－2×1×6×，解得c＝. 4．(2023·河南九校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2b，sin2A－3sin2B＝sinA sin C，则∠C＝(　　) A． B． C． D． B　解析：∵sin2A－3sin2B＝sinA sin C， 由正弦定理可得a2－3b2＝ac， ∵c＝2b， ∴a2－3b2＝a·2b＝ab， 由余弦定理可得cos C＝＝＝， ∵0<C<π，∴C＝. 5．(多选)(2023·河北张家口质检)下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，A>B，则sin A>sin B B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 ABD　　解析：对于A，由A>B，可得a>b， 利用正弦定理可得sin A>sin B，正确； 对于B，在锐角△ABC中，A，B∈， ∵A＋B>， ∴>A>－B>0， ∴sin A>sin ＝cos B， ∴不等式sin A>cos B恒成立，正确； 对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B， 利用正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B， ∴sin 2A＝sin 2B， ∵A，B∈(0，π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形， ∴是假命题，错误； 对于D，由于B＝60°，b2＝ac， 由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac， 可得(a－c)2＝0，解得a＝c， 可得A＝C＝B＝60°，故正确． 6．(2022·河南新乡二模)a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2＋bc＝b2＋c2，则cos A＝______． 答案：　解析：因为a2＋bc＝b2＋c2，且a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以cos A＝. 7．(2023·江苏苏州模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为__________平方里． 答案：84　解析：由题意画出△ABC， 且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得， cos B＝＝＝， 所以sin B＝＝， 则该沙田的面积S＝AB·BC·sinB＝×13×14×＝84(平方里). 8．(2023·浙江杭州质检)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，则甲、乙共走了________步． 答案：35　解析：如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC＝3ta，AB＝10a，BC＝(7t－10)a， 在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2， 即(3ta)2＋(10