2023年中考数学二轮复习练习 二次函数综合

2023年九年级数学中考复习 二次函数综合 最值问题 1．已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标是，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段、的长是方程的两个根． （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标． 2．如图所示．抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点为点，对称轴所在的直线交轴于点，连接，点为的中点．求出线段的长． （3）点在轴上，点在对称轴上，在直线上找一点，使最小，并求出点的坐标． 3．抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），交轴正半轴于点，且． （1）如图1，已知，①请直接写出，，的值；②连接、，为上方抛物线上的一点，连接交于点，若，求点的坐标； （2）如图2，已知，为第三象限抛物线上一动点，直线交抛物线于另一点，轴交直线于点，连接，求出的最小值及此时点的坐标． 4．已知关于的二次函数的图象经过点，且与轴交于不同的两点、，点的坐标是 （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线交于、两点，与的交于点，记点到直线的距离为，到轴的距离为，若，求当有最小值时此二次函数的解析式． 5．如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求出二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点与点均在该函数图象上（其中，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值及点到轴的距离； （4）在（3）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点，使得的周长最小． 6.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； （3）对称轴上是否存在点使最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，的斜边在轴上，，点的坐标为，点在轴的正半轴，抛物线的图象经过点，， （Ⅰ）求关于的函数解析式； （Ⅱ）设对称轴与抛物线交于点，与交于点，在对称釉上，是否存在点，使以点，，点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 （Ⅲ）若在对称轴上有两个动点和（点在点的上方），且，请求出使四边形周长最小的点的坐标． 8．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，， （1）求此二次函数的解析式； （2）动直线从与直线重合的位置出发，绕点顺时针旋转，与直线重合时终止运动，直线与交于点，是线段的中点． ①直接写出点所经过的路线长． ②点与、不重合时，过点作于点、作于点，连接、，在旋转过程中，的大小是否发生变化？若不变，求的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接，求的最小值． 9．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，，抛物线与轴的两个交点的横坐标为，，且． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，求的度数． （3）点在对称轴上，点在抛物线上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出点的坐标． （4）点的坐标为，点的坐标为，以点为圆心，2为半径的圆上有一动点，直接写出的最小值． 10．已知抛物线与轴交于，与轴交于、两点，且、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在轴上，且，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移个单位得到的新抛物线与轴交于、在左侧），为轴下方的新抛物线上任意一点，连、，过作于，是否为定值？请说明理由． 答案版： 1. 【解答】解：（1）线段、的长是方程的两个根， ，， 点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， 点的坐标是点的坐标是， ， 解得：，，， 二次函数的解析式是：； （2）由，可知对称轴为， 连接，交对称轴于点， 则此时的值最小， 设直线的解析式为， ，， ，解得，， 直线的解析式为：， 当时，， 点坐标为． 2. 【解答】解：（1）把，分别代入，得 ， 解得． 故该抛物线解析式为：； （2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式是为：． ，则． 又， ． ． 点为的中点， 是直角斜边上的中线， ； （3）由（2）知，顶点， 对称轴是直线． 与点关于直线对称， 如图2，设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小． ． 当时，的值最小． 、， 直线的解析式为：， 设直线为． 把代入得到：， 解得． 直线的解析式为：． ， 解得． 故点的坐标是． 3. 【解答】解：（1）①由题意得，点， 设抛物线的解析式为：， ， ， ， ，，； ②如图1， 作于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 直线的解析式为：， 由得，（舍去），， ，； （2）如图2， ，，， 抛物线的解析式为， 作轴于点，作点关于的对称点，连接， 设点，， 直线的解析式为， 同理可得， 直线的解析式为， 直线经过原点， ， ， 轴， 当时，， ， ， ， 此时．