外切球与内切球常用模型讲义-2023届高三数学一轮复习

立体几何1球~试题 外接球 一、正方体模型 • O P C B A ①正方体外接球半径边长 ②正四面体棱长为外接球半径 · 推导：正四面体可以放到正方体里面，正四面体棱长为，正方体边长为 正方体外接球半径边长 二：适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥外接球 化简得： · 推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 三、长方体模型： 长方体的三边长为 变形 · 对棱相等详解：四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 四、直三棱柱模型： ①直三棱柱的底边长为，高为,外接球半径 · 求解过程：底面三角形外接圆半径可用正弦定理求解： 变形： 求 ： 侧棱底面的三棱锥外接球半径 等价于 求直三棱柱的外接球半径 五：切瓜模型:有两个平面互相垂直的棱锥 · 推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心, 过两个外心做两个垂面的垂线， 两条垂线的交点即为球心，取公共交线的中点为， 连接、、、为矩形 由勾股可得 六、矩形模型 适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径 （为公共斜边长度） 内切球 方法一：等体积法（看成四个小三棱锥） · 注意：若为正四面体， 则,得 如图所示： 正四面体结论 设正四面体的边长为，则： 1． 正四面体体积是 2. 正四面体高是 3. 正四面体外接球半径是 4. 正四面体内切球半径 方法二：截面法 取截面，求截面的内切圆半径即可 根据等面积公式可得 、相似 1. 已知正三棱柱﹣111的底面边长为，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为 　　． 2. 已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的倍，若其外接球的表面积为，则该棱柱的底面边长为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3. 三棱锥﹣中，⊥平面，且＝＝＝＝2，则该三棱锥的外接球的表面积是（　　） A． B．4π C． D． 4. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则三棱锥的外接球的表面积是 　　． 5. 正三棱锥中，侧棱两两垂直，若底面边长为2，则此正三棱锥外接球的表面积是　 　． 6. 已知三棱锥﹣的三条侧棱两两互相垂直，且，，＝2，则此三棱锥的外接球的体积为（　　） A．π B．π C．π D．π 7. 四面体中，已知＝，＝，＝，则四面体的外接球的表面积为　　． 8. 在三棱锥﹣中，＝＝＝2，＝＝4，且⊥，则该三棱锥外接球的表面积为 　 　． 9. 已知三棱锥﹣的底面是以为斜边的等腰直角三角形，＝6，＝＝＝6，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是　　． 10. 已知三棱锥﹣中，＝1，，＝2，＝，面⊥面，则此三棱锥的外接球的表面积为 　　． 11. 在四棱锥中，平面平面，且为矩形，，，，，则四棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 12. 三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面平面，， ，，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 13. 若正四棱锥﹣的底面边长及高均为2，则此四棱锥内切球的表面积为　　． 14. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（　　） A．8：3 B．6：1 C．3：1 D．2：1 自己总结模型： 正方体模型： 长方体模型： 直棱柱模型： 顶点射影在底面外心处的模型： 面面垂直（切瓜模型） 矩形模型： 内切球体积算法： 正四面体边长为，则 高： 外接球半径： 内切球半径： 体积： 乾坤未定 2 你我皆是黑马 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $乾坤未定 立体几何1球~解析 外接球 一、正方体模型 • O P C B A ①正方体外接球半径边长 ②正四面体棱长为外接球半径 · 推