2023届河北省秦皇岛市第一中学高三二模数学试卷

2023年秦皇岛一中高考数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U＝{2，4，6，8}，若集合M满足∁UM＝{2，8}，则（　　）

A．4⊆M B．6⊆M C．4∈M D．6∉M

2．已知复数z＝1﹣i，则|z2+z|＝（　　）

A． B． C． D．

3．为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3：1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（　　）

A．16 B．24 C．32 D．40

4．函数的大致图象为（　　）

5．已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（　　）

A． B． C． D．

6．中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50

层小球的个数为（　　）

A．2400 B．2401 C．2500 D．2501

7．已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为（　　）

A．3π B．5π C．8π D．9π

8．已知在x∈（0，+∞）上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

9．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则x的值可以是（　　）

A．±2 B．0 C．±1 D．

10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则（　　）

A．A与B互斥 B．B与C相互独立 

C． D．

11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M（0，m）（m≠0）分别向抛物线C与圆F：（x﹣1）2+y2＝1作切线，切点为分别为P，Q（P，Q不同于坐标原点），则下列判断正确的是（　　）

A．MP∥OQ B．MP⊥MF 

C．P，Q，F三点共线 D．|MF|＝|OQ|

12．定义：对于定义在区间I上的函数f（x）和正数α（0＜α≤1），若存在正数M，使得不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤M|x1﹣x2|α对任意x1，x2∈I恒成立，则称函数f（x）在区间I上满足α阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（　　）

A．函数在[1，+∞）上满足阶李普希兹条件 

B．若函数f（x）＝xlnx在[1，e]上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2 

C．若函数f（x）在[a，b]上满足M＝k（0＜k＜1）的一阶李普希兹条件，且方程f（x）＝

x在区间[a，b]上有解x0，则x0是方程f（x）＝x在区间[a，b]上的唯一解 

D．若函数f（x）在[0，1]上满足M＝1的一阶李普希兹条件，且f（0）＝f（1），则存在满足条件的函数f（x），存在x1，x2∈[0，1]，使得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N（4，σ2），且P（2≤X≤4）＝0.4，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为 　      　．

14．已知，则cos2α＝　                  　．

15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若PF1⊥PF2，且，则椭圆C的离心率为 　                  　．

16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，平面AB1C与直线D1C1的交点为M，现将△MCB1绕CB1旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面A1B1C1D1内任一直线所成最小角记为α，则sinα的最大值是 　                  　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，（n∈N*），a5﹣a1＝30，S4＝30．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}满足bn＝log2a2n+1，求数列的前n项和Tn．

18．（12分）已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．

19．（12分）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4