专题11 最值模型之阿氏圆-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题11 最值模型之阿氏圆 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。 1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理; 2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 模型建立： PA+kPB的最小值。 阿氏圆钥匙： 构造母子三角形相似 阿氏圆口诀： 两定一动阿氏圆，母子相似很简单。 第一步：确动点的运动轨迹（圆）， 以点0为圆心、r为半径画圆； （若圆已经画出则可省略这一步） 第二步：连接动点至圆心0 （将系数不为1的线段的固定端点 与圆心相连接），即连接OP,OB。 第三步：计算这两条线段长度的比k; 第五步：在0B上取点C,使得OC= k∙OP ; =k, ∠O= ∠O， 可得△ POC ∽ △ BOP 可得： =k, PC=k ∙PB 第六步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。 ［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］ ( 典例 )如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是　　． 思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出，推出PTPB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题． 答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴△PAT∽△BAP， ∴， ∴PTPB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT， ∴PB+PC， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． ( 实战训练 ) 一．选择题（共1小题） 1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（　　） A．4 B． C． D． 二．填空题（共7小题） 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 ． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 ． 4．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ． 5．如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 ． 6．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最大值为 ． 7．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 ． 8．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 ． 三．解答题（共8小题） 9．如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图1中作出AC边上的点E，使得AE＝3CE； （2）在图2中作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD＝DF； （3）在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠ACG． 10．已知，AB是⊙O的直径，AB，AC＝BC． （1）求弦BC的长； （2）若点D是AB下方⊙O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF，如图1所示，若M是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN的长为定值； （3）如图2，点P是动点，且AP＝2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运