第二篇 第一章 第4节 充分条件与必要条件-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

第４节　充分条件与必要条件 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． ２．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件． ３．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． 　　　　充分条件与必要条件 命题真假 “若p 则q”是真 命题 “若p 则q” 是假命题 推出关系 p　　q p⇒/q 条件关系 p 是q 的 　 　 条件 q 是 p 的 　 　 条件 p 不是q 的 　　条件 q不是p 的 　　条件 １．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证 q成立,但是如果没有p,q也可能成立”． ２．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要 有q成立”,或者说“若q不成立,则p一定 不成立”;但即使有q成立,p未必会成立． 　　　充要条件 一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 p⇔q．此时,我们说,p 是q 的　　　　条 件,简称　　条件． 概括地说,(１)若如果p⇔q,那么p 与q 　 　　　条件． (２)若p⇒q,但q⇒/p,则称p是q的充分不 必要条件． (３)若q⇒p,但p⇒/q,则称p是q的必要不 充分条件． (４)若p⇒/q,且q⇒/p,则称p是q 的既不充 分也不必要条件． p与q互为充要条件,也称“p等价于q”, “q当且仅当p”等． 　　　　充分条件、必要条件、充要条 　　　　　件的判断 指出下列各题中,p 是q 的什么条件 (在“充分不必要条件”“必要不充分条 件”“充分必要条件”“既不充分也不必要 条件”中选出一种作答)． (１)在 △ABC 中,p:∠A＞ ∠B,q:BC ＞AC; (２)对于实数x,y,p:x＋y≠８,q:x≠２或 y≠６; (３)p:(a－２)(a－３)＝０,q:a＝３． [解]　 (１)在△ABC 中,显然有∠A＞ ∠B⇔BC＞AC,所以p 是q 的充分必要 条件． (２)因为x＝２且y＝６⇒x＋y＝８,即􀱑q ⇒􀱑p,但􀱑p⇒/􀱑q,所以p 是q 的充分 不必要条件． (３)由(a－２)(a－３)＝０可以推出a＝２ 或a＝３,不一定有a＝３;由a＝３可以得 出(a－２)(a－３)＝０．因此,p是q 的必要 不充分条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充分条件与必要条件的判断方法 [变式训练] １．设a,b是实数,则“a＞b”是“a２＞b２”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 　　　　充要条件的探究与证明 (１)设命题甲:ax２＋２ax＋１＞０的解 集是实数集R,命题乙:０＜a＜１,则命题 甲是命题乙成立的 (　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中新知探究学习 (２)已知x,y都是非零实数,且x＞y,求 证:１ x＜ １ y 的充要条件是xy＞０． [解析]　(１)若ax２＋２ax＋１＞０的解集 为R, 则 a ＝ ０ 或 a＞０ , Δ＜０,{ 即 a ＝ ０ 或 a＞０, ４a２－４a＜０,{ 所以０≤a＜１． 因此乙⇒甲,但甲⇒/ 乙, 命题 甲 是 命 题 乙 成 立 的 必 要 不 充 分 条件． (２)法一:充分性:由xy＞０及x＞y,得 x xy＞ y x