第二篇 第四章 第6节 对数函数及其性质的应用-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

第６节　对数函数及其性质的应用 　　　 利用对数函数的单调性比较大小 比较下列各组值的大小． (１)log３π,log２０．８; (２)１．１０．９,log１．１０．９,log０．７０．８; (３)log５３,log６３,log７３． [解]　(１)因为log３π＞log３１＝０,log２０．８ ＜log２１＝０, 所以log３π＞log２０．８． (２)因 为 １．１０．９＞１．１０＝１,log１．１０．９＜ log１．１ ＝０, ０＝log０．７１＜log０．７０．８＜log０．７０．７＝１, 所以１．１０．９＞log０．７０．８＞log１．１０．９． (３)因为０＜log３５＜log３６＜log３７, 所以log５３＞log６３＞log７３． [变式训练] １．比较下列各组数的大小． (１)log２π与log２０􀆰９; (２)log２０􀆰３与log０􀆰２０􀆰３; (３)log０􀆰７６,０􀆰７６ 与６０􀆰７． 　　解对数不等式 (１)已知log０．７２x＜log０．７(x－１),则 x的取值范围为　　　　; (２)已知loga(x－１)≥loga(３－x)(a＞０, 且a≠１),求x的取值范围． [解析]　(１)∵函数y＝log０．７x在(０, ＋∞)上为减函数, ∴ 由 log０．７ ２x ＜log０．７ (x － １)得 ２x＞０, x－１＞０, ２x＞x－１, ì î í ï ï ï ï 解得x＞１, 即x的取值范围是(１,＋∞)． (２)loga(x－１)≥loga(３－x), 当a＞１时,有 x－１＞０, ３－x＞０, x－１≥３－x, ì î í ï ï ï ï 解得２≤x＜３． 当０＜a＜１时,有 x－１＞０, ３－x＞０, x－１≤３－x, ì î í ï ï ï ï 解得１＜x≤２． 综上可得, 当a＞１时,不等式loga(x－１)≥loga(３ －x)中x的取值范围为[２,３); 当０＜a＜１时,不等式loga(x－１)≥ loga(３－x)(a＞０且a≠１)中x的取值范 围是(１,２]． [答案]　(１)(１,＋∞)　(２)见解析 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　两类对数不等式的解法 (１)形 如logaf(x)＜logag(x)的 不 等式． ①当０＜a＜１时,可转化为f(x)＞ g(x)＞０; ②当a＞１时,可转化为０＜f(x)＜ g(x)． (２)形如logaf(x)＜b的不等式可变形 为logaf(x)＜b＝loga b． ①当０＜a＜１时,可转化为f(x)＞ab; ②当a＞１时,可转化为０＜f(x)＜ab． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８０１ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中新知探究学习 [变式训练] ２．若loga ２ ３＜１ ,求实数a的取值范围． 　　　对数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝loga(x＋１)－loga(１ －x)(a＞０且a≠１)． (１)求f(x)的定义域; (２)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (３)当a＞１时,求使f(x)＞０的x的取 值范围． [解]　(１)∵f(x)＝loga(x＋１)－loga(１ －x), ∴ x＋１＞０, １－x＞０,{ 解得－１＜x＜１, ∴定义域为(－１,１)． (２)f(x)为奇函数． 证明:由(１)知函数的定义域为(－１,１), f(－x)＝loga(－x＋１)－loga(１＋x) ＝－[loga(x＋１)－loga(１－x)] ＝－f(x), 故f(x)为奇函数． (３)∵当a＞１时,f(x)在定义域(－１,１) 上是增加的,∴由f(x)＞０, 由loga(x＋１)－loga(１－x)＞０, 即l