第二篇 第四章 第4节 对数与对数运算-【创新教程】2023初升高数学衔接教材一本通

第４节　对数与对数运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解对数的概念及运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数． ２．通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． 　　　　对数的概念及常用结论 １．对数的概念 一般地,如果ax＝N(a＞０,且a≠１),那 么数x 叫做以a 为底 N 的对数,记作 　　　　,其中 　 　 叫做对数的底数, 　　叫做真数． ２．常用对数与自然对数 (１)通常我们将　　　　的对数叫做常用 对数,并把log１０N记为lgN． (２)在科学技术中常用以无理数e＝２．７１８２８ 􀆺为底数的对数,　　　　的对数称为自 然对数,并且把logeN 记为lnN． ３．几个常用结论 (１)loga１＝　　　　,loga ＝　　　　(a＞０, 且a≠１); (２)loga n＝　　　　(a＞０,且a≠１); (３)对数恒等式:alogaN ＝　　　　(a＞０,且 a≠１)． 对数的概念中规定“a＞０,且a≠１”的原因 (１)若a＜０,则当 N 为某些值时,x的值不 存在．如x＝log－２８不存在． (２)若a＝０,当 N≠０时,x的值不存在．如 log０３(可理解为０的多少次幂是３)不 存在． (３)若a＝１,①当 N≠１时,x的值不存在． 如log１３不存在． ②当N＝１时,x可以为任意数,是不唯 一的,即log１ 有无数个值． 因此规定a＞０,且a≠１． 　　　　对数的运算性质 如果a＞０,且a≠１,M ＞０,N＞０,那么: １．loga(M􀅰N)＝　　　　; ２．loga M N＝　　　　 ; ３．logaMn＝　　　　　　． 巧记对数的运算性质 (１)两个正数的积的对数等于这两个正数 的对数的和． (２)两个正数的商的对数等于这两个正数 的对数的差． (３)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底 数幂的底数的对数． 　　　换底公式 对数的换底公式 logab＝　　　　(a＞０,且a≠１;c＞０,且 c≠１;b＞０)． １．换底公式的推导 设x＝logab,化为指数式为ax＝b,两边 取以c为底的对数,得logcax＝logcb,即 xlogca＝logcb, 所以x＝ logcb logca ,即logab＝ logcb logca ． ２．换底公式常用推论 loganbn＝logab(a＞０,a≠１,b＞０,n≠０); logambn＝ n mlogab (a＞０,a≠１,b＞０, m≠０,n∈R); logab􀅰logba＝１(a＞０,b＞０,a≠１,b≠１); logab􀅰logbc􀅰logcd＝logad(a＞０,a≠１, b＞０,b≠１,c＞０,c≠１,d＞０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ００１ 数 学　　　　　　　　　　　　　　　　　 高中新知探究学习 　　　　指数式与对数式的互化 将下列指数式化为对数式,对数式化 为指数式: (１)３－２＝１９ ;(２)１４ æ è ç ö ø ÷ －２ ＝１６; (３)log１３２７＝－３; (４)logx６４＝－６． [解]　(１)∵３－２＝１９ ,∴log３ １ ９＝－２． (２)∵ １４ æ è ç ö ø ÷ －２ ＝１６,∴log１４ ６＝－２． (３)∵log１３２７＝－３,∴ １ ３ æ è ç ö ø ÷ －３ ＝２７． (４)∵logx６４＝－６,∴(x)－６＝６４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �